设函数fx=x^3+ax^2-a^2x+m若a=1时函数fx有三个不同的零点

解：
(1)
对f(x)求导得：
f(x)'=3x^2+2ax-a^2
解得两个极值点分别为：
x1=-a , x2=a/3
当a=0 时：
x1=x2=0,
故此时f(x)在R上都不存在极值点，满足条件。
当a≠0时：
考虑到 x1=-a和x2=a/3 这两个极值点一定异号，必定两极值点一正一负，而题意要求在[-1,1]之间无极值点，因此：
当a>0 时,要满足题意，则：
x1=-a<-1 且 x2=a/3>1
解得：
a~(3,+∞)
当a<0 时，要满足题意，则同理有：
x1=-a>1 且 x2=a/3<-1
解得：
a~(-∞,-3)
因此，综上所述得a的范围为：
{a| a<-3 或 a>3 或 a=0}
(2)
因为对任意的a∈[3,6]都要成立，a>0恒成立的，故增区间为:x~(-∞,-a]U[a/3,+∞)；减区间为：x~[-a,a/3]。由(1)可得到两个极值点的变化情况：
极大值f(-a)的横坐标在[-6,-3]之间变化，在x=-a处取得极大值。而该变化区间小于-2，因此，极大值不在区间[-2,2]内，可得在x~[-2,a/3]中的最大值是f(-2).
极小值f(a/3)的横坐标在[1,2]间变化，由于减区间为x~[-a,a/3],故在区间[a/3,2]中的最大值为f(2)。
要使不等式成立，则只需要x~[-2,2]这个区间上的最大值小于等于1就行了，所以有：
f(-2)=-8+4a+2a^2+m≤1 且 f(2)=8+4a-2a^2+m≤1
两式相加得：
m≤1-4a
因为a~[3,6],故m要小于等于（1-4a）的最小值，因此：
m≤(1-4a)min= -23
故m范围为：{m| m≤-23}
(3)
a=1 时：
f(x)=x^3+x^2-x+m
两个极值点分别为：
x1=-1 , x2=1/3
根据前面两个问题的分析，可知：
f(x)极大=f(-1)=m+1
f(x)极小=f(1/3)=m-5/27
要使有三个不同的零点，则由图像增减的性质，则有：
f(x)极大=f(-1)=m+1>0
f(x)极小=f(1/3)=m-5/27<0
解得m范围为：
{m| -1希望对楼主有帮助，如果还有不清楚的地方再跟我说吧。

（1）首先求导y'=3x^2+2ax-a^2

要想让函数在[-1，1]上无极值点，只需让导函数在[-1，1]上没有根就可以了

分类讨论

（情况一）：当判别式小于等于0，导函数无根

判别式=16a^2小于等于0

解得a=0

(情况二)：当判别式大于0时，a不等于0

两根分别为-a,a/3

继续分类讨论

（情况一：）当a大于0时，a/3大于-a

所以要想无根，需要

-a大于等于1，或a/3小于等于-1，或-1小于等于-a小于a/3小于等于1

解得a小于等于-1，a小于等于-3，a小于等于1

所以综上，0小于a小于等于1 （因为三者是“或”的关系，注意）

（情况二）当a小于0时，a/3小于-a

所以要想无根，需要

a/3大于等于1，或-a小于等于-1，或-1小于等于a/3小于-a小于等于1

解得a大于等于3，a大于等于1，无解

所以综上，a大于等于3
总体综上，a的范围[0，1]并[3，正无穷）

（2）
分类讨论

（情况一）判别式小于等于0，即a=0时,原函数在R上递增。

（情况二）当a大于0时，原函数在（负无穷，-a），（a/3，正无穷）上递增，在[-a,a/3]上递减

（情况三）当a小于0时，原函数在(负无穷，a/3),(-a正无穷)上递增，在[a/3,-a]上递减

（3）设g(x)=f(x)-1

将f(x)向下平移1

第二问又已经做了铺垫

（情况一）当a=0时，函数最大值就是f(6)=216+m
所以g(2)=215+m
所以215+m小于0，m小于-215
同时还得让[3，6]的值域在[-2，2]内
则需要g(3)大于等于-2，g(6)小于等于2

解得m无解