12 已知abc都是正整数,且a+b+c=1求证:(1-a)(1-b)(1-C) ≥8abc

这位朋友的最好，我来推荐
(1-a)(1-b)(1-c)
=(b+c)(a+c)(a+b)
≥2(bc)^(1/2)*2(ac)^(1/2)*2(ab)^(1/2)
=8abc

另外，题目里有点笔误，不是正整数吧，只是正数吧
回答者： xtttwind - 举人 四级 5-18 16:08

证明：

∵a>0,b>0,c>0
∴a+b>2*√a*b
b+c>2*√b*c
a+c>*√a*c
而，1-a = b+c
1-b = a+c
1-c = a+b
∴(1-a)(1-b)(1-c)
= (b+c)(a+c)(a+b)
>=(2*√b*c)*(2*√a*c)*(2*√a*b)
= 8abc

(1-a)(1-b)(1-c)
=(b+c)(a+c)(a+b)
≥2(bc)^(1/2)*2(ac)^(1/2)*2(ab)^(1/2)
=8abc

另外，题目里有点笔误，不是正整数吧，只是正数吧

(1-a)(1-b)(1-c)
=(b+c)(a+c)(a+b)
=(ab+ac+bc+c^2)(a+b)
=a^2b+a^2c+abc+ac^2+ab^2+abc+b^2c+bc^2
=b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)+a(c^2+b^2)+2abc
≥b*2ac+c*2ab+a*2bc+2abc
=8abc
得证