高中数学，关于杨辉三角类题目的解题技巧？

将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ． 第1行　　　　　 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1…… ……………………………………… 【解析】（1）先将以上杨辉三角续写两行得：第6行 1 0 1 0 1 0 1第7行 1 1 1 1 1 1 1 1可见第1，3，7行，也就是第 全行的数都为1.由此猜想：第 全行的数都为1.如果你还不敢肯定这个猜想，还可以验证第 行是否全为1.虽然工作量有点大，但由于操作方法简单，比直接证明这个结论还是简单得多.当然，试验的结果是成功的.于是我们确定地猜：第 次全行的数都为1的是第 行 .（2）根据（1），第 行的数全为1，且一共有64个1.再依据操作规则，第62行应具备1，0，1，0，…1，0，1的形式，这里共有63个数，其中有32个1，31个0；它的再上一行即第62行应具备1，1，0，0，1，1，0，0，…1，1，0，0，1，1的形式，这里共有62个数，其中有30个0，32个1.这个结论未经过证明，当然只能算是猜想.可是根据命题的结构和我们解题的经验，相信这个答案是绝对正确的.既然是无须书写解题过程的填空题，有什么必要再去多此一举呢？注：这个规律可以用数学归纳法证明如下：（1） n=1时，已验证 全行的数都为1.（2） 假定n=k时， 全行的数都为1.注意到，第 行共有 个1.根据题设，原题只牵涉到两种运算，我们规定运算※：1※1=0，1※0=0※1=1.那么第 以下几行的各数依次为：第 行 1 0 0……0 0 1第 行 1 1 0 0……0 0 1 1第 行 1 0 1 0 0……0 0 1 0 1第 行 1 1 1 0 0 0……0 0 0 1 1 1……这就是说，经过两次一轮的运算※，‘1’的个数增加 个.同理，再经过2次一轮的运算※，‘1’的个数增加 .…这样在经过k轮运算后，1的个数将增加 个.也就是 + =2× = 个1.但是第 行共有 个数，所以这 个数全是1.根据（1）与（2），当 时，第 全行的数都为1. 、（1）组合数的两个基本性质在杨辉三角中的体现．　　①②　　注：①对杨辉三角每一横行来说，与首末两个“1”距离相等的两个数相等．　　②除三角中各边上的“1”外，所有数都是它肩上两个数的和．　　（2）杨辉三角的第1，3，7，15，……即第2k－1行(k为正整数)的各个数字都是奇数，这可以用的组合式来进行说明．　　（3）杨辉三角中所有的质数横行，行数均能整除除去两端的数字1外的所有数，这条性质也可以用来说明．　　（4）杨辉三角中第n行各数即为二项式(a＋b)n展开式中的二项式系数，且各数之和为2n．　　（5）n阶杨辉三角形的第k＋1条（从左上到右下）斜线上前n个数字（从右上到左下）的和，等于第k＋1条斜线上的第n个数．　　即（k=0，1，2，…，n）　　这即是著名的朱世杰等式．