数列求和有什么方法?详细一点

你是老师吗？不管是不是，下面的回答应该对你有帮助的

教学目的：能够利用“公式法”（等差，等比数列的前n项和公式，自然数的方幂和公式），“分解求和法”，“裂项求和法”等通项化归求和的常用方法，求一些特殊数列的和。

教学难点：运用化归思想分析问题和解决问题。

教学过程：

一、复习提问：

师：说出等差数列的前n项和公式？

生：Sn =， Sn= （教师板书）

师：说出等比数列的前n项和公式？

生：Sn= Sn= (教师板书)

师：条件q=1时，前n项和怎样计算？

生：Sn=na1

二、讲解新课：

师：今天我们将继续学习数列的求和问题。

（板书课题：数列求和）

下面请同学们先看例1。（出示投影）

例1（1）求和：

（新教材P131，例3）

（2）求和：

师：请同学们观察（1）是否是等差数列或等比数列？

（估计学生会用等差，等比数列的定义来判断）

生：否。

师：既然不是等差数列，也不是等比数列，那么就不能直接用等差，等比数列的求和公式，请

同学们仔细观察一下此数列有何特征？

生：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，

分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和。

（1）当x≠0, x≠1, y≠1时

原式=

=

（以上化简过程，实际上是繁分式的化简应强调结果的完整）

师：题中附加条件去掉，应该如何考虑？请同学们课后思考。

师：下面我们一起来研究（2）由上题启发，对于一个数列的一项可分成若干项，使其重新组合

成等差或等比，那么本小题又是怎样来解呢？

（学生相互讨论，老师巡视，启发学生）

师：我们可否通过对通项进行变形呢？从而转化为等差或等比数列？

生：(2) 令k=1，2，3，……n

则：1= ,

[引导学生自己归纳解法特点，养成学生解题后思考的良好习惯]

师：这类数列的求和法叫分解求和法，基本方法是根据数列的通项公式，将原数列分解为两个

或两个以上的基本数列，然后再分别求和，

例2（1）求和：

（2）求和：

师：将各项分母通分，显然是行不通的，能否通过通项的特点，将每一项拆成两项的差，使它

们之间能互相抵消许多。

生：（1） 令k=1，2，3，… n

则原式=

=

==

师：请看第（2）小题，此题形式与第（1）小题相仿，哪位同学能大胆地试一试。

生：（2）（此步骤一开始学生会仿照上题将通项裂开，未考虑到

令k=1，2，3，… n 系数，经启发可得出）

则原式=

=

（做到此处，学生会发现与上题不同，互相抵消的项不在前后项，此时，教师应耐心地分析各项间的关系，可以假设n=6, n=7时的情形，得出一般规律）

原式=

师：这类数列求和的方法叫裂项相消求和法，基本方法是把数列各项拆成两项的差，使求和时

中间各项相互抵消。

[上例中，两个小题贯彻由浅入深的原则]

[讲完一个例题后，将例题引伸是教学中常做的一件事，它可以使学生的认识得到“升华”，

发展学生的思维，并起到触类旁通，举一反三的效果]

例3：求数列：1，，，的前n项和。

（启发学生，根据例1、例2的方法解决）

师：例1、例2我们都是对通项进行分解而得到解决。那么例3是否也可用同样的方法呢？例3

中的通项是什么呢？

生：

=

=

师：在求数列的前n项和时，往往需要先将通项公式进行变形，然后再求和。

例4：已知数列[an]的前n项和为Sn=n2+2n，求和：

师：由例3可知，此题也应把通项公式求出来，才能解决问题，请同学们考虑，通项公式的求

法。（稍作停止，让学生回忆求通项的方法）

生：当n≥2时, an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]

=n2+2n-(n2-2n+1+2n-2)

=2n+1

a1=S1=12+2·1=3 满足上式.

∴[an]的通项公式为an= =2n+1

师：很好！那么有了数列的通项公式，这个问题就可以解决了。

生：原式=

=

=

==

三、小结归纳：

师：非等差（比）的特殊数列求和法。

1、设法转化为等差数列或等比数列，这一思考方法往往通过通项分解法来完成。

2、不能转化为等差（比）的特殊数列，往往通过裂项相消法求和。

四、课堂练习：

1、求和：

2、求和：

3、求和：

4、数列[an]的前n项和为Sn=n2, 求

（以上练习完全与例题相仿，对所学知识加以巩固）

五、作业：

1、求数列：1，1+2，1+2+3，…（1+2+3+…+n）…的前n项的和。

2、求数列：1，1+2，1+2+22，…,(1+2+22+…+2n-1)…的前n项的和。

3、求数列：1，1+a, 1+a+a2, …(1++a+a2+…+an-1)…的前n项的和.

4、求数列：9，99，999，9999，……的前n项和。

教案说明

（1）本节课的教学内容在现行高中新教材中，所占篇幅极小，只通过一个例题（P131例3）一个练习（P132，3），一个习题（P133，6）反映这一内容，但其重要性却不容忽视，首先如等差数列前N项和公式的是用“逆序相加法”，等比数列的前N项和公式的推导是用“错位相减法”。这些求和的方法本身在教材中有所体现，只是没有系统安排，其次，在实际应用中，会经常碰到非等差（等比）数列的求和问题，此外，对今后学习数列的极限打好基础。

（2）一节课的素材虽然准备得很充分，但若搭配布局安排不当，就可能降低学生对所教内容的理解水平，不能充分发挥教材在培养学生思维品质方面的作用，因此，在设计教案时应重视一节课各部分，各环节间相互联系的功能所形成的最佳结构。本节课是非等差（等比）的特殊数列求和的第一节课，安排了四个例题，四个课堂练习和四个课外作业题，例题和习题的安排上贯彻了由浅入深的原则，例1是用“分解求和法”来解的，例2是“裂项求和法”解题，这两种方法都用了通项化归的数学思想方法，例3、例4是在例1、例2的基础上作了一些引伸。在有了通项化归这种思想后，例3、例4就显得很容易了，此外课堂练习，基本与例题相仿，作为巩固练习。而作业题中，有一点难度，让学生课余进行思考。

（3）利用课堂教学的机会，有意识地将数学研究的某些思想方法渗透到教学过程中，课堂教学不能单纯传授知识，应在传授知识的同时注重能力的培养、在上述思想的指导下，这堂课的教学过程中，每个例题都让学生体会到通项化归的思想方法。

（4）提高课堂教学的实效，加快学生的思维节秦，不拖泥带水，该说的话，要说到点上，要说透，能少说的，就决不多说，尽量挤出时间让学生多练。在讲解例题时，重点不是讲怎样解，而是讲为什么这样解，从而达到会解一类题，提高创新思维的能力。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
1.公式法:
①等差数列的前n项和公式:
②等比数列的前n项和公式
③
④
⑤
例1:若实数a,b满足:
求:
分析:通过观察,看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为a,公比为ab,因此由题设求出a,b,再用等比数列前n项和公式求和.
解:由已知可得:
2.分组求和法:
若数列 的通项可转化为
的形式,且数列 可求出前n项和 则
例2.求下列数列的前n项和
(1)

(2)
解(1):该数列的通项公式为

规律概括:如果一个数列的通项可分成两项之和(或三项之和)则可用分组求和法:在本章我们主要遇到如下两种形式的数列.
其一:通项公式为:
其二:通项公式为:
练习:下列数列的前n项和

答案:
例3,求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1 (x≠0,1)
[分析]
这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应相乘构成的新数列,这样的数列求和该如何求呢
Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ①
xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②
(1-x)Sn =1 + x + x2+ …… + xn-1 - nxn
n项
这时等式的右边是一个等比数列的前n项和与一个式子的和,这样我们就可以化简求值.
错位相减法
例3,求和Sn =1+2x+3x2+ +nxn-1 (x≠0,1)
解:∵ Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1
∴xSn = x + 2x2 + + (n-1)xn-1+nxn
∴ ① -②,得:
(1-x) Sn =1+x+x2+ + xn-1 - nxn
1-(1+n)xn+nxn+1
1-x
=
∴ Sn=
1-(1+n)xn+nxn+1
(1-x)2
1-xn
1-x
=
- nxn
……
……
……
……
3.错位相减法:设数列 是公差为d的等差数列(d不等于零),数列 是公比为q的等比数列(q不
等于1),数列 满足: 则 的前n项和为:
练习:
求和Sn= 1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n
答案:
Sn =3-
2n+3
2n
例4,Sn = + +……+
1
1×3
1
3×5
1
(2n-1)×(2n+1)
[分析]:观察数列的前几项:
1
(2n-1)×(2n+1)
= ( - )
2
1
2n-1
1
2n+1
1
这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和,这种方法叫什么呢
拆项相消法
1
1×3
= ( -
2
1
3
1
1
1
)
例4,Sn = + +……+
1
1×3
1
3×5
1
(2n-1)×(2n+1)
解:由通项an=
1
(2n-1)×(2n+1)
= ( - )
2
1
2n-1
1
2n+1
1
∴Sn=
( - + - +……+ - )
2
1
3
1
1
1
5
1
3
1
2n-1
1
2n+1
1
= (1 - )
2
1
2n+1
1
2n+1
n
=
评:裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项,进而达到求和的目的.
4.拆项相消法(或裂项法):若数列 的通项公式拆分为某数列相邻两项之差的形式即:
或( )则可用如下方法求前n项和 .
设 是公差不为零的等差数列, 满足 求:
的前n项和
它的拆项方法你掌握了吗
常见的拆项公式有:
练习:(求和)
分析:将原数列反序排列仍构成等差数列其首项为-100,公差
为1/3,则只须求新数列的前400项绝对值之和
注意
运算
技巧

错位相减,简单常用.