极限定义用的是ε-N语言（数列的）或者ε-δ语言（函数的）。这个证明其实不难，对于所有的证明极限题，假如是数列的，就是任给ε>0，你去找一个N，使得n>N的时候an和极限A之间差别小于ε。ε是给定的，所以N一般来说是关于ε的一个式子，举个例子，比如证明1/n趋近于0的时候任给ε>0，你现在就把|1/n-0|<ε的式子写上，脑子里想着，以这个式子为起点去找一个N，使得n>N时候这个式子成立。这个式子可以化简为n>1/ε，你就能看出来只要n>1/ε上面不等式就成立，但是N不能取1/ε，必须是整数，想想N如果取一个比1/ε大的数，那n>N上面不等式就更成立了，于是你就故意把N取得大一点，N=[1/ε]+1，去个整再加1，就比1/ε来得大了，这样n>N时候能保证|1/n-0|<ε了。至于放缩还可以举个例子，证明1/(n+n²)趋近于0。你写上式子|1/(n+n²)-0|<ε，然后想要找一个N，那么可以感到这个N只要从|1/(n+n²)-0|<ε出发得到就可以，而这个1/(n+n²)<1/n，如果|1/n-0|<ε了那么1/(n+n²)就更小于ε了。于是我从这个|1/n-0|<ε找出的N一定更满足题目条件，还是取N=[1/ε]+1。这就是放缩法。
函数极限证明类似，给定ε>0，写出不等式，从不等式出发去找δ（一般是一个含有ε的式子），满足要求。
其他什么分析等等都是一些技巧，具体可以看看书上例题。
至于对极限定义的理解可以看看这个回答。
http://zhidao.baidu.com/question/328730990.html?an=0&si=2
就是微积分语言的问题。微积分语言核心就是用静态过程刻画动态过程，极限你可以理解成x的一种“本领”，给一个“误差”，然后只要x充分的发挥了这个“本领”，f(x)和极限之间的“误差”就可以充分小。这个说了太抽象，我就说一下第一个当例子吧。
x趋近于+∞时f(x)极限是A，这个先给一个“误差”，把它叫ε，这是一个要求，要求f(x)和A的距离要比这个小；因为x极限趋势是趋近+∞的，所以x的“本领”是可以很大，怎么样表明x充分发挥“可以很大”这个本领以后“误差”就可以充分小呢？我们就找一个衡量“本领”的标准N，这个N的特点是“充分大”，x要是比N都大就充分发挥了本领了，这时候误差就可以比ε小了。具体说法是：
①对于任意ε>0（随便给一个误差要求），存在N>0（都能找到一个x本领的评判标准），使得当x>N时（x按照这个标准充分发挥本领）恒有|f(x)-A|<ε（f(x)和极限之间的值就可以符合误差要求）。
类似地
②对于任意ε>0，存在N>0，使得当x<-N时恒有|f(x)-A|<ε。
③（注意不是无穷了，这个x的本领就不是任意大了，而是和x0任意接近，找的衡量x本领的标准就是一个δ，只要x与x0距离小于δ就算x充分发挥了本领，能做到f(x)与A距离比ε小。告诉趋近于x0+还是x0-就是一个谁减谁的问题）
对于任意ε>0，存在δ>0，使得当x-x0<δ（x从右侧趋近x0，故是x-x0）时恒有|f(x)-A|<ε。
④对于任意ε>0，存在δ>0，使得当x0-x<δ（x从左侧趋近x0，故是x0-x）时恒有|f(x)-A|<ε。
这个自己好好思考思考理解了这种题就完全没问题了。上面的这种理解方法不是我想的，是一个我们的物理老师说的，我只是润色了一下语言。他的观点我觉得很有启发性，他说微积分语言实际上还是一种类似物理实验的思想。物理学家关心的是差距足够小就可以，不是数学家的逻辑上严密；结果数学家真正需要定义“极限”这个数学概念的时候也头疼，折腾了几个世纪才给出现在的微积分语言。我们也可以感觉到分析学其实并不是很高深，它真正的思想核心还是紧密结合现实世界的。（最后这一段话太哲学了，如果楼主不感兴趣就当我没说了……我喜欢在回答问题时候瞎扯一些我的哲学理解）
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