数学题（抛物线）

此题用极坐标非常方便是：设F到准线距离为P，M到准线的距离为d，并设F为极点且极轴向右 |FM|=r
则 d=P+rcos60° 因r/d=e=1 r=P+r/2
所以r=2P 即|FM|=2P

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＞x2（点A在点B右侧）
将y=kx+2代入y=2x²，整理得
2x²-kx-2=0
∴x1+x2=k/2，x1x2=-1.
∵M是线段AB的中点，M的横坐标为(x1+x2)/2=k/4，而MN⊥x轴
∴N的横坐标为k/4
对函数y=2x²求导，得 y'=4x
所以，抛物线在N点出的切线斜率k'=4×k/4=k
故 抛物线C在N点处的切线斜率与AB的斜率相等
即 抛物线C在点N处的切线于AB平行 .
(2)假设存在这样的k
设N(x0，y0），由第一问得x0=k/4，y0=2x0²=k²/8.
∵向量NA·向量NB=(x1-x0，y1-y0)·(x2-x0，y2-y0)=0
∴(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0........................①
又y1y2=2x1²·2x2²=4(x1x2)²=4，y1+y2=2x1²+2x2²=2(x1+x2)²-4x1x2=(k²/2)+4
所以，可将①式整理为
k^4+12k²-64=0
解得k²=4或k²=-16(舍)
故存在k=±2满足题意.
你的串号我已经记下，采纳后我会帮你制作

设抛物线为y²=2px.则|MF|=2p.