南通市2008——2009年度第一学期高三期末调研测试卷数学答案

　　南通市2008～2009年度第一学期高三期末调研测试 学科网
　　数学 学科网
　　A．必做题部分 学科网
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　　一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 学科网
　　1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合 ，则集合 = ▲ ． 学科网
　　2． 已知函数 ，则 的最小正周期是 ▲ ． 学科网
　　3． 经过点（－2，3），且与直线 平行的直线方程为 ▲ ． 学科网
　　4． 若复数 满足 则 ▲ ． 学科网
　　5． 程序如下： 学科网
　　t←1 学科网
　　i←2 学科网
　　While i≤4 学科网
　　t←t×i 学科网
　　i←i＋1 学科网
　　End While 学科网
　　Print t 学科网
　　以上程序输出的结果是 ▲ ． 学科网
　　6． 若 的方差为3，则 的方差 学科网
　　为 ▲ ． 学科网
　　7． 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为 ，则四面体 的外接球的体积为 ▲ ． 学科网
　　8． 以椭圆 的左焦点 为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ． 学科网
　　9． 设a＞0，集合A={（x，y）| }，B={（x，y）| }．若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是 ▲ ． 学科网
　　10．在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 ▲ ． 学科网
　　11．数列 中， ，且 （ ， ），则这个数列的通项公式 学科网
　　▲ ． 学科网
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　　12．根据下面一组等式： 学科网
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　　………… 学科网
　　可得 ▲ ． 学科网
　　13．在△ABC中， ，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且 ，则 等于 ▲ ． 学科网
　　14．设函数 ，记 ，若函数 至少存在一个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ． 学科网
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　　二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 学科网
　　15．（本小题14分） 学科网
　　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D． 学科网
　　（1）求证：AD⊥平面BC C1 B1； 学科网
　　（2）设E是B1C1上的一点，当 的值为多少时， 学科网
　　A1E‖平面ADC1？请给出证明． 学科网
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　　16．（本小题14分） 学科网
　　如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且 ． 学科网
　　（1）求sin∠BAD的值； 学科网
　　（2）设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求 的值． 学科网
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　　17．（本小题15分） 学科网
　　某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料： 学科网
　　日 期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
　　温差 （°C） 10 11 13 12 8
　　发芽数 （颗） 23 25 30 26 16
　　该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验． 学科网
　　（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率； 学科网
　　（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程 ； 学科网
　　（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠? 学科网
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　　18．（本小题15分） 学科网
　　抛物线 的焦点为F， 在抛物线上，且存在实数λ，使 0， ． 学科网
　　（1）求直线AB的方程； 学科网
　　（2）求△AOB的外接圆的方程． 学科网
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　　19．（本小题16分） 学科网
　　已知函数 在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π）， ，m∈R． 学科网
　　（1）求θ的值； 学科网
　　（2）若 在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围； 学科网
　　（3）设 ，若在[1，e]上至少存在一个 ，使得 成立，求 的取值范围． 学科网
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　　20．（本小题16分） 学科网
　　已知等差数列 的首项为a，公差为b，等比数列 的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且 ．
　　（1）求a的值；
　　（2）若对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求b的值；
　　（3）令 ，问数列 中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

　　B．附加题部分
　　21．（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
　　A．选修4－1（几何证明选讲）
　　如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD
　　切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是
　　OB的中点，求BC的长．

　　B．选修4－2（矩阵与变换）
　　将曲线 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．

　　C．选修4－4（坐标系与参数方程）
　　求直线 （t为参数）被圆 （α为参数）截得的弦长．

　　D．选修4－5（不等式选讲）
　　已知x，y均为正数，且x＞y，求证： ．

　　22．（必做题）已知等式 ，其中
　　ai（i=0，1，2，…，10）为实常数．求：
　　（1） 的值；
　　（2） 的值．

　　23．（必做题）先阅读：如图，设梯形ABCD的上、下底边的长分别是a，b（a＜b），高为h，求梯形的面积．

　　南通市2009届高三第一次调研测试
　　数学参考答案与评分意见

　　A．必做题部分

　　一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
　　1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合 ，则集合 = ▲ ．
　　2． 已知函数 ，则 的最小正周期是 ▲ ．
　　3． 经过点（－2，3），且与直线 平行的直线方程为 ▲ ．
　　4． 若复数 满足 则 ▲ ．
　　5． 程序如下：
　　t←1
　　i←2
　　While i≤4
　　t←t×i
　　i←i＋1
　　End While
　　Print t
　　以上程序输出的结果是 ▲ ．
　　6． 若 的方差为3，则 的方差
　　为 ▲ ．
　　7． 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为 ，则四面体 的外接球的体积为 ▲ ．
　　8． 以椭圆 的左焦点 为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．
　　9． 设a＞0，集合A={（x，y）| }，B={（x，y）| }．若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是 ▲ ．
　　10．在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 ▲ ．
　　11．数列 中， ，且 （ ， ），则这个数列的通项公式
　　▲ ．

　　12．根据下面一组等式：

　　…………
　　可得 ▲ ．
　　13．在△ABC中， ，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且 ，则 等于 ▲ ．
　　14．设函数 ，记 ，若函数 至少存在一个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
　　答案：1．{6，7} 2． 3． 4． 5．24 6．27 7． 8．
　　9．0＜a≤ 10． 11． 12． 13． 14．

　　二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
　　15．（本小题14分）
　　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．
　　（1）求证：AD⊥平面BC C1 B1；
　　（2）设E是B1C1上的一点，当 的值为多少时，
　　A1E‖平面ADC1？请给出证明．

　　解: （1）在正三棱柱中，C C1⊥平面ABC，AD 平面ABC，
　　∴ AD⊥C C1．………………………………………2分
　　又AD⊥C1D，C C1交C1D于C1，且C C1和C1D都在面BC C1 B1内，
　　∴ AD⊥面BC C1 B1． ……………………………………………………………5分
　　（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．………………………7分
　　当 ，即E为B1C1的中点时，A1E‖平面ADC1．………………………………8分
　　事实上，正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BC C1 B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，所以B1B‖DE，B1B= DE． …………………………………………………10分
　　又B1B‖AA1，且B1B=AA1，
　　∴DE‖AA1，且DE=AA1． ……………………………………………………………12分
　　所以四边形ADE A1为平行四边形，所以E A1‖AD．
　　而E A1 面AD C1内，故A1E‖平面AD C1． ………………………………………14分

　　16．（本小题14分）
　　如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且 ．
　　（1）求sin∠BAD的值；
　　（2）设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求 的值．
　　解 （1）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，
　　则AC=10， ．………………2分
　　又∵ ，AB=13，
　　∴ ． …………………………4分
　　∵ ，∴ ． …………………………………………………5分
　　∴ ．……………………………………………………8分
　　（2） ， ， ， 11分
　　则 ，∴ ．……………………………………14分
　　17．（本小题15分）
　　某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
　　日 期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
　　温差 （°C） 10 11 13 12 8
　　发芽数 （颗） 23 25 30 26 16
　　该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
　　（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
　　（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程 ；
　　（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?
　　解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件 ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种， ………………2分
　　所以 ．…………………………………………………………………4分
　　答：略． ……………………………………………………………………………………5分
　　（2）由数据，求得 ．………………………………………………………………7分
　　由公式，求得 ， ． …………………………………………………9分
　　所以y关于x的线性回归方程为 ． …………………………………………10分
　　（3）当x=10时， ，|22－23|＜2；…………………………………………12分
　　同样，当x=8时， ，|17－16|＜2．……………………………………14分
　　所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ……………………………………15分
　　18．（本小题15分）
　　抛物线 的焦点为F， 在抛物线上，且存在实数λ，使 0， ．
　　（1）求直线AB的方程；
　　（2）求△AOB的外接圆的方程．
　　解：（1）抛物线 的准线方程为 ．
　　∵ ，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得| |= ． …1分
　　设直线AB： ，而
　　由 得 ． ……………………………………………3分
　　∴ | |= = ．∴ ．……………6分
　　从而 ，故直线AB的方程为 ，即 ．……………………8分
　　（2）由 求得A（4，4），B（ ，－1）．……………………………………10分
　　设△AOB的外接圆方程为 ，则
　　解得 ………………………………………………14分
　　故△AOB的外接圆的方程为 ．…………………………………15分
　　19．（本小题16分）
　　已知函数 在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π）， ，m∈R．
　　（1）求θ的值；
　　（2）若 在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；
　　（3）设 ，若在[1，e]上至少存在一个 ，使得 成立，求 的取值范围．
　　解：（1）由题意， ≥0在 上恒成立，即 ．………1分
　　∵θ∈（0，π），∴ ．故 在 上恒成立，…………………2分
　　只须 ，即 ，只有 ．结合θ∈（0，π），得 ．……4分
　　（2）由（1），得 ． ．…………5分
　　∵ 在其定义域内为单调函数，
　　∴ 或者 在[1，＋∞）恒成立．………………………6分
　　等价于 ，即 ，
　　而 ，（ ）max=1，∴ ． …………………………………………8分
　　等价于 ，即 在[1，＋∞）恒成立，
　　而 ∈（0，1]， ．
　　综上，m的取值范围是 ． ………………………………………………10分
　　（3）构造 ， ．
　　当 时， ， ， ，所以在[1，e]上不存在一个 ，使得 成立． ………………………………………………………12分
　　当 时， ．…………………………14分
　　因为 ，所以 ， ，所以 在 恒成立．
　　故 在 上单调递增， ，只要 ，
　　解得 ．
　　故 的取值范围是 ．………………………………………………………16分
　　20．（本小题16分）
　　已知等差数列 的首项为a，公差为b，等比数列 的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且 ．
　　（1）求a的值；
　　（2）若对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求b的值；
　　（3）令 ，问数列 中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．
　　解：（1）由已知，得 ．由 ，得 ．
　　因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又 ，故b≥3． …………………………2分
　　再由 ，得 ．
　　由 ，故 ，即 ．
　　由b≥3，故 ，解得 ． ………………………………………………………4分
　　于是 ，根据 ，可得 ．…………………………………………………6分
　　（2）由 ，对于任意的 ，均存在 ，使得 ，则
　　．
　　又 ，由数的整除性，得b是5的约数．
　　故 ，b=5．
　　所以b=5时，存在正自然数 满足题意．…………………………………………9分
　　（3）设数列 中， 成等比数列，由 ， ，得
　　．
　　化简，得 ． （※） …………………………………………11分
　　当 时， 时，等式（※）成立，而 ，不成立． …………………………12分
　　当 时， 时，等式（※）成立．…………………………………………………13分
　　当 时， ，这与b≥3矛盾．
　　这时等式（※）不成立．…………………………………………………………………14分
　　综上所述，当 时，不存在连续三项成等比数列；当 时，数列 中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．…………………………………………16分

　　B．附加题部分
　　21．（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
　　A．选修4－1（几何证明选讲）
　　如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD
　　切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是
　　OB的中点，求BC的长．
　　解：连接OD，则OD⊥DC．
　　在Rt△OED中，OE= OB= OD，
　　∴∠ODE=30°． ………………………………3分
　　在Rt△ODC中，∠DCO=30°， ………………5分
　　由DC=2，则OB=OD=DCtan30°= ， ……………………9分
　　所以BC=OC－OB= ． …………………………………………………………………10分
　　B．选修4－2（矩阵与变换）
　　将曲线 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．
　　解：由题意，得旋转变换矩阵 ， ……………………3分
　　设 上的任意点 在变换矩阵M作用下为 ， ，
　　∴ ………………………………………………………………………7分
　　得 ．
　　将曲线 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为 ．……10分
　　C．选修4－4（坐标系与参数方程）
　　求直线 （t为参数）被圆 （α为参数）截得的弦长．
　　解：把直线方程 化为普通方程为 ．…………………………………………3分
　　将圆 化为普通方程为 ．……………………………………………6分
　　圆心O到直线的距离 ， 弦长 ．
　　所以直线 被圆 截得的弦长为 ．………………………………10分
　　D．选修4－5（不等式选讲）
　　已知x，y均为正数，且x＞y，求证： ．
　　解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，
　　…………………………………………………3分
　　= ……………………………………………………………………6分
　　， …………………………………………………………………9分
　　所以 ． …………………………………………………………10分
　　22．（必做题）已知等式 ，其中
　　ai（i=0，1，2，…，10）为实常数．求：
　　（1） 的值；
　　（2） 的值．
　　解：（1）在 中，
　　令 ，得 ．……………………………………………………………………2分
　　令 ，得 ． ……………………………………4分
　　所以 ． ……………………………………………………5分
　　（2）等式 两边对x求导，得 ．…………7分
　　在 中，
　　令x=0，整理，得 ．………………10分
　　23．（必做题）先阅读：如图，设梯形ABCD的上、下底边的长分别是a，b（a＜b），高为h，求梯形的面积．

　　方法一：延长DA、CB交于点O，过点O作CD的垂线分别交AB、CD于E，F，则 ．
　　设 即 ．
　　．
　　方法二：作AB的平行线MN分别交AD、BC于M、N，过点A作BC的平行线AQ分别交MN、DC于P、Q，则 ．
　　设梯形AMNB的高为 ，
　　．
　　再解下面的问题：
　　已知四棱台ABCD－A′B′C′D′的上、下底面的面积分别是 ，棱台的高为h，类比以上两种方法，分别求出棱台的体积（棱锥的体积= 底面积 高）．
　　解法一：将四棱台ABCD－A′B′C′D′补为四棱锥V－ABCD，设点V到面A′B′C′D′的距离为h′．由 即
　　所以
　　，
　　所以四棱台ABCD－A′B′C′D′的体积为 ． ………………………5分
　　解法二：作一与上下底面平行的平面截得四边形的面积为S，它与上底面的距离为x，
　　，
　　．
　　，
　　，

　　．………………………………………………………………10分