初中几何

证明：
作辅助线AN，设AB与MN的交点为O
由于AM与MN垂直
AB与BN垂直
且角AOM=角NOB
所以角OAM=角BNM
同理可得角NAB=角NMB
即可得角OAM+角NAB=角BNM+角NMB
由于三角形ABC是等腰直角三角形，所以角ABC=45°
又因为AB与BN垂直
所以角NBM=90°+角ABC=135°
则在三角形MNB里，角NMB+角BNM=180°-135°=45°
又因为角OAM+角NAB=角BNM+角NMB
所以角OAM+角NAB=45°
即角NAM=45°
在直角三角形MNA中，有一个锐角为45°，则这个三角形为等腰直角三角形
所以此三角形的两个腰AM=NM
得证！

在ab上截取ad使ad=mb
由于AM与MN垂直
AB与BN垂直
且角AOM=角NOB
所以角OAM=角BNM
等腰直角△ACB
所以AC=BC
因为AD=BM
所以CD=MC
所以△CDM为等腰直角△
所以角ADM=135°
因为角ABC=45°
角ABN=90°
所以角MBN=135°
所以角MBN=135°
所以△ADM全等△MBN
所以AM=MN

本来一两步就可以做出来的，为了让你看的更明白，才写的这么复杂，一定要认真看呀！别浪费我一番苦心呀！

证明：方法有多种，以下方法针对初二学生。
因为等腰直角三角形ABC ∠C=90°
故：AC=BC ∠CAB=∠CBA=45°
在CA上截取CD=CM
故：∠CDM=∠CMD=45° AD=BM
故：∠ADM=135°
因为：BN⊥AB 故：∠ABN=90°
故：∠MBN=135°=∠ADM
又：AM⊥MN 故：∠AMC+∠NMB=90°
又：∠AMC+∠MAD=90°
故：∠NMB=∠MAD
故：△ADM≌△MBN（ASA）
故：AM=MN

支持 钟艺大观 

补充：

∠AMN=∠ABN=RT∠

试试上图 

勿怪

提供一个思路