数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构关系的特征概括,是对一类数学对象的本质属性的真实反映。数学概念的教学既是数学教学的关键环节,又是数学学习的核心所在。因此概念教学在数学课堂教学中起到举足轻重的作用。那么如何进行有效的数学概念教学呢?下面我就结合自己的教学实践谈谈看法。
一、数学概念的合理引入
概念的引入是进行概念教学的第一步,这一步走得如何,对学生学好概念至关重要。
1.从数学本身发展需要引入概念。
从数学内在需要引入概念是引入数学概念的常用方法之一,这样的例子随处可见。例如,整个数学体系的建立过程就体现了这一点:在小学里学习的“数”的基础上,为解决“数”的减法中出现的问题,必须引入负数概念。随着学习的深入,单纯的有理数已不能满足需要,必须引入无理数。在实数范围内,方程x■+1=0显然没有解,为了使它有解,就引入了新数i,它满足i■=-1,并且和实数一样可以按照四则运算法则进行计算,于是引入了复数的概念。
2.用具体实例、实物或模型进行介绍。
学生形成数学概念的首要条件是获得十分丰富且合乎实际的感性材料。教师在进行概念教学时,应密切联系概念的现实原型,使学生在观察有关实物的同时,获得对于所研究对象的感性认识。在此基础上逐步上升至理性认识,进而提出概念的定义,建立新的概念。例如,在引入“函数”概念时,可以设计以下问题:(1)炮弹发射时,炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间(单位:s)变化的规律h=130t-5t■;(2)温州某一天的气温随时间的变化规律;(3)1990-2008年梧田镇居民生活水平的变化规律。这样有利于学生更好地理解概念,调动学生学习的积极性和主动性。
3.用类比方法引入概念。
当面对一个概念时,如果学生没有直接相关的知识,就可以通过类比的方法把不直接相关的知识经验运用到当前的问题中,因此类比是引入新概念的一种重要方法。例如,立体几何问题往往有赖于平面几何的类比,空间向量往往有赖于平面向量的类比。通过类比教学和训练,学生对概念的认识能够升华。
二、数学概念的建立和形成
数学概念是多结构、多层次的。理解和掌握数学概念,应遵循由具体到抽象,由低级到高级,由简单到复杂的认知规律。因此,一个数学概念的建立和形成,应该通过学生的亲身体验、主动构建,通过分析、比较、归纳等方式,揭示出概念的本质属性,形成完整的概念链,从而提高学生分析问题、解决问题的能力,逐渐形成数学思想。可以从以下几方面给予指导。
1.分析构成概念的基本要素。
数学概念的定义是用精练的数学语言概括表达出来的,在教学中,抽象概括出概念后,还要注意分析概念的定义,帮助学生认识概念的含义。如为了使学生能更好地掌握函数概念,我们必须揭示其本质特征,进行逐层剖析。对定义的内涵要阐明三点:①x、y的对应变化关系。例如在“函数的表示方法”一节例4的教学中,教师要讲明并强调每位学生的“成绩”与“测试时间”之间形成函数关系,使学生明白并非所有的函数都有解析式,由此加深学生对函数的“对应法则”的认识。②实质:每一个值,对应唯一的y值,可列举函数讲解:y=2x,y=x■,y=2都是函数,但x、y的对应关系不同,分别是一对一、二对一、多对一,从而加深对函数本质的认识。再通过图像显示,使学生明白,并非随便一个图形都是函数的图像,从而掌握函数图像的特征。③定义域,值域,对应法则构成函数的三素,缺一不可,但要特别强调定义域的重要性。由于学生学习解析式较早,比较熟悉,他们往往因只关注解析式,忽略定义域而造成错误。为此可让学生比较函数y=2x,y=2x(x>0),y=2x(x∈N)的不同并分别求值域,然后结合图像分析得出:三者大相径庭。强调解析式相同但定义域不同的函数绝不是相同的函数。再结合分段函数和有实际意义的函数,引起学生对实际问题的关注和思考。
2.抓住要点,促进概念的深化。
揭示概念的内涵不仅由概念的定义完成,还常常由定义所推出的一些定理、公式得到进一步揭示。如三角函数定义教学中,同角三角函数关系式、诱导公式、三角函数值的符号规律、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质都是由定义推导出来的,可使学生清楚地看到概念是学习其他知识的依据,反过来又会使三角函数定义的内涵得到深刻揭示,加深对概念的理解,增强运用概念进行推理判断的思维能力。教学中应有意识地启发学生提高认识,引导学生从概念出发,逐步深入展开对它所反映的数学模式作深入探究,以求更深刻地认识客观规律。
三、数学概念的巩固与运用
数学概念的深刻理解并牢固掌握,是为了能够灵活、正确地运用它,同时,在运用过程中,又能更进一步地深化对数学概念的本质的理解。为此,在教学中应采用多种形式,引导学生在运算、推理、证明及解决问题的过程中运用数学概念。
1.通过开放性问题与变式,深入理解数学概念。
数学概念形成之后,通过开放性问题,引导学生从不同角度理解概念。这将影响学生对数学概念的巩固及解题能力的形成。如在“等比数列”中设置问题:
例:已知{a■}是等比数列且公比为q,请你构造出新的等比数列,并指出它们的公比。
变式:已知{a■},{b■}是项数相同的等比数列,公比分别为p,q,请你构造出新的等比数列,并指出它们的公比。
通过讨论与辨析,学生对等比数列的概念有了更深入的理解与认识。
2.通过解决实际问题,深入理解数学概念的本质。
很多数学概念都有其实际背景,它的产生必然离不开现实世界,离不开生活实际,反过来,在概念形成后,学会在实际问题中运用所学概念,这也是深入理解概念本质的有效途径。如学习“等比数列”概念之后,可解决实际问题:今有出门望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各有几何?利用统计中的“方差”概念,通过对几组数据的分析,判断某事件(如射击、成绩、机器性能等)的稳定性等,通过解决这些实际问题,能够提高学生运用
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