如何证明根号3是无理数

方法一：假设根号3=p/q(p、q为互质整数），则p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是质数，所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾，所以根号3是无理数
方法二：设x=根号3，则有方程x^2=3
假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数），根据牛顿有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，从而x=1或3，显然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。
方法三：设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1
根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数，矛盾

用反证法
假设根号3是有理数，则必然能写成最简分数n/m,n与m为互质整数。
令 根号3=x
x的平方=3=n的平方/m的平方
3为正整数，同时也是有理数，n的平方与m的平方互质（由n与m为互质整数得出）即不存在公约数，则m的平方必为1（不然无法等于一个整数3） 3=n的平方=x的平方
推出根号3=x=n, 由于n为整数，则根号3也为整数，显然是不对的，所以
根号3为无理数

可设sqrt(3)=p/q;p,q互素且为正数。
则p^2=3*q^2
所以可令p^2=3*k,k>=1且为正数。
则q^2=k；
但是q,p互素，则q^2与p^2也互素，但由上所推可知，q^2与p^2有公因子k,矛盾，故sqrt(3)为无理数。