1⼀n为什么是发散的？1⼀(n*n)为什么是收敛的？

2025-03-13 19:24:46

推荐回答（5个）

回答1：

1/n发散的原因：

0<∑1/n²<∑[1/n(n-1)] = ∑[1/n-1)-1/n] = 1-1/n，所以收敛。

至于∑1/n.考虑函数ln(1+x) - x，其导数为1/(1+x) -1。

当x恒大于0时，导数恒小于0，当x=0时，ln(1+x)-x =0，

当x>0时，ln(1+x) - x <0 ，所以ln((n+1)/n) = ln(1+1/n) < 1/n。

1/n > ln(n+1)-ln(n)，所以∑1/n > ∑ln(n+1)-ln(n) = ln(n+1)很显然不收敛。

1/(n*n)收敛的原因：

可以用1/x*x的积分放大估计，也可以用按2的k次方集项估计：

第一项等于1，第二第三项之和小于1/2(小于两个1/2的平方，第4项到第7项之和小于1/4(四个1/4平方之和），第8项到第15项之和小于1/8(八个1/8平方之和.）

总之，小于收敛的公比为1/2的等比级数，所以收敛。

扩展资料：

判断级数收敛或者发散的方法：

1、比较判别法

简而言之，小于收敛正项级数的必然收敛，大于发散正向级数的必然发散。当然其中可以存在倍数关系，可以将一个级数放大或缩小再进行比较。若用极限形式，就是二者的比值的极限值是一个有限的正数即可。

2、柯西判别法

从某一项往后，那一项的n分之一次方大于等于1，那么这个级数发散，若那一项的n分之一次方小于1，但是不能无线接近于1，则级数收敛。极限形式就是正项级数的n分之一次方的上极限小于1，收敛，大于1则发散，等于1需要进一步判断。

3、达朗贝尔判别法

从某一项开始，这一项和前一项的比值大于等于1，则级数发散；若这一项和前一项的比值小于1且不会无限接近于1，则级数收敛。极限形式就是这个比值的上极限小于1，级数收敛；这个比值的下极限大于1，级数发散。

参考资料来源：百度百科-收敛（数学、经济学名词）

参考资料来源：百度百科-发散（数学分析术语）

回答2：

因为n≠0，n*n＞0，所以当n的绝对值从小变大时，1/(n*n)收敛于0，双曲线在同一侧，一、二象限。

而n为（-∞，0）时，1/n为（0，-∞）；当n为（0，+∞）时，1/n为（+∞，0），双曲线在一、三象限。

收敛级数映射到它的和的函数是线性的，从而根据哈恩-巴拿赫定理可以推出，这个函数能扩张成可和任意部分和有界的级数的可和法，这个事实一般并不怎么有用，因为这样的扩张许多都是互不相容的，并且也由于这种算子的存在性证明诉诸于选择公理或它的等价形式，例如佐恩引理，所以它们还都是非构造的。

发散级数这一分支，作为分析学的领域，本质上关心的是明确而且自然的技巧，例如阿贝尔可和法、切萨罗可和法、波莱尔可和法以及相关对象。维纳陶伯型定理的出现标志着这一分支步入了新的阶段，它引出了傅里叶分析中巴拿赫代数与可和法间出乎意料的联系。

扩展资料：

绝对收敛：一般的级数u1+u2+...+un+...，它的各项为任意级数。

如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛，则称级数Σun绝对收敛。经济学中的收敛，分为绝对收敛和条件收敛。

给定收敛到s的收敛级数a，倘若任意置换级数a的项得到级数a′后，a′收敛也总是收敛到s，则称级数a是绝对收敛的。在这个定义之下可以证明，一个级数收敛当且仅当取它每一项绝对值后得到的新级数在经典意义下收敛。有些地方会将后者作为绝对收敛的定义，但由于不涉及绝对值的概念，所以前者的定义更有一般性。

参考资料来源：百度百科——发散

参考资料来源：百度百科——收敛

回答3：

p级数 1 1/(2∧p ) 1/(3∧p) …… 1/(n∧p)当n≦1时发散，当n＞1时收敛.

可以用反证法来证 . 假设它收敛，它的部分和Sn趋于S，那么，它的部分和S2n也趋S，
所以S2n-Sn=0当n趋于无穷时。但S2n-Snn+1+1/n+2+...+1/2n>n*1/2n=1/2,因此S2n-Sn不趋向于零当n趋于无穷时，这与假设矛盾，所以原级数发散。
基本解释发散 fāsàn1. ∶光线等由一点向四周散开发散透镜2. diverge∶中医指用发汗的药物把体内的热散出去发散 fāsàn散开如由一个共同中心向外延伸的几条直线,数学上的发散状态
地震勘探中常用的震源可近似地看作为点震源，它在介质中形成的地震波具有各种形状的波前。当波离开震源传插时，波前面不断扩大，导致单位波前面积上波的能量不断减小，这种现象叫做发散。
根据波前的形状，通常可分为球面发散和柱面发散。前者，波强度的变化与距离的平方成反比；后者，波强度的变化与距离成反比。
条件收敛，指的是技术给定，其他条件一样的话，人均产出低的国家，相对于人均产出高的国家，有着较高的人均产出增长率，一个国家的经济在远离均衡状态时，比接近均衡状态时，增长速度快。

回答4：

这题目用积分，导数审敛法可以方便做出，而且已有他人给出答案。我就在这里分析为何不能使用比值审敛法判断敛散性。
用比值审敛法判断，
1/n的后项比前项为1-1/(n+1);
1/n^2的为1-2/(n+1)+1/(n+1)^2;
当n趋于无穷时，上列两个式子均趋于1，按道理应该都是发散的是吧？
比值本身是项与项之间的倍率关系，而与项本身的大小无关。举个栗子:
级数1第n项是0.0001(n足够大)，第n+1项是0.0001000001，第n+2项是0.0001000001000000001，以此类推后项比前项趋于1，但它是收敛的;
级数2第n项是1000(n足够大)，第n+1项是1000.1，第n+2项是1000.1001，以此类推后项比前项趋于1，但它是发散的;
综上，
比值审敛法适用条件(未考虑复数域):
1.若比值是个常数a，a>=1时发散，a<1时收敛。(不考虑负数情况)
2.若是一个关于n的式子b，则n趋于无穷时，b趋于小于1的数时收敛，b趋于1时无法判断，b趋于大于1的数时发散。

回答5：

因为n≠0，n*n＞0，所以当n的绝对值从小变大时，
1/(n*n)收敛于0，双曲线在同一侧，一、二象限。。
而n为（-∞，0）时，1/n为（0，-∞）；
当n为（0，+∞）时，1/n为（+∞，0），双曲线在一、三象限。

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