求高中必修一数学中的“向量和三角函数”的解题技巧？

2025-01-14 00:36:46

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回答1：

数学高考基础知识、常见结论详解
一、集合与简易逻辑：
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。
集合元素的互异性：如：，，求；
（2）集合与元素的关系用符号，表示。
（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、；整数集；有理数集、实数集。
（4）集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。
注意：区分集合中元素的形式：如：；；；；；
；
（5）空集是指不含任何元素的集合。（、和的区别；0与三者间的关系）
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。
如：，如果，求的取值。
二、集合间的关系及其运算
（1）符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；
符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。
（2）；；
（3）对于任意集合，则：
① ；；；
② ；；
；；
③ ；；
（4）①若为偶数，则；若为奇数，则；
②若被3除余0，则；若被3除余1，则；若被3除余2，则；
三、集合中元素的个数的计算：
（1）若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是。
（2）中元素的个数的计算公式为：；
（3）韦恩图的运用：
四、满足条件，满足条件，
若；则是的充分非必要条件；
若；则是的必要非充分条件；
若；则是的充要条件；
若；则是的既非充分又非必要条件；
五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的；
注意：“若，则 ”在解题中的运用，
如：“ ”是“ ”的条件。
六、反证法：当证明“若，则 ”感到困难时，改证它的等价命题“若则 ”成立，
步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。
正面词语等于大于小于是都是至多有一个
否定
正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个
否定
二、函数
一、映射与函数：
（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：
如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。
函数的图象与直线交点的个数为个。
二、函数的三要素：，，。
相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)
（1）函数解析式的求法：
①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：
（2）函数定义域的求法：
① ，则； ② 则；
③ ，则； ④如：，则；
⑤含参问题的定义域要分类讨论；
如：已知函数的定义域是，求的定义域。
⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则；定义域为。
（3）函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
求下列函数的值域：① （2种方法）；
② （2种方法）；③ （2种方法）；
三、函数的性质：
函数的单调性、奇偶性、周期性
单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）
导数法（适用于多项式函数）
复合函数法和图像法。
应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。
判别方法：定义法，图像法，复合函数法
应用：把函数值进行转化求解。
周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.
应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数
五、反函数：
（1）定义：
（2）函数存在反函数的条件：；
（3）互为反函数的定义域与值域的关系：；
（4）求反函数的步骤：①将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；②将互换，得；③写出反函数的定义域（即的值域）。
（5）互为反函数的图象间的关系：；
（6）原函数与反函数具有相同的单调性；
（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。
如：求下列函数的反函数：；；
七、常用的初等函数：
（1）一元一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数；
（2）一元二次函数：
一般式：；对称轴方程是；顶点为；
两点式：；对称轴方程是；与轴的交点为；
顶点式：；对称轴方程是；顶点为；
①一元二次函数的单调性：
当时：为增函数；为减函数；当时：为增函数；为减函数；
②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为的形式，
Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则
时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则
时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
有三个类型题型：
(1)顶点固定，区间也固定。如：
(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．
③二次方程实数根的分布问题：设实系数一元二次方程的两根为；则：
根的情况
等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根
充要条件
注意：若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。
（3）反比例函数：
（4）指数函数：
指数运算法则：；；。
指数函数：y= (a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和01和00)是等比数列。
25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。
26. 在等差数列中：
（1）若项数为，则
（2）若数为则，，
27. 在等比数列中：
（1）若项数为，则
（2）若数为则，
四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项

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