分部积分 ∫ x^3(1+x^2)^(1⼀2)

解：其实这一道题，如果不用分部积分法，用代换法更有效，当然了，分部积分法也可以，具体如下：
∫
x^3(1+x^2)^(1/2)dx
=∫
x^2(1+x^2)^(1/2)×xdx=1/2∫
x^2(1+x^2)^(1/2)dx^2
=1/2∫
x^2(1+x^2)^(1/2)d(x^2+1)
=1/2∫
x^2×2/3d(x^2+1)^(3/2)
=1/3×x^2×(x^2+1)^(3/2)-1/3×∫
(x^2+1)^(3/2)dx^2
=1/3×x^2×(x^2+1)^(3/2)-1/3×∫
(x^2+1)^(3/2)d(x^2+1)
解：其实这一道题，如果不用分部积分法，用代换法更有效，当然了，分部积分法也可以，具体如下：
∫
x^3(1+x^2)^(1/2)dx
=∫
x^2(1+x^2)^(1/2)×xdx=1/2∫
x^2(1+x^2)^(1/2)dx^2
=1/2∫
x^2(1+x^2)^(1/2)d(x^2+1)
=1/2∫
x^2×2/3d(x^2+1)^(3/2)
=1/3×x^2×(x^2+1)^(3/2)-1/3×∫
(x^2+1)^(3/2)dx^2
=1/3×x^2×(x^2+1)^(3/2)-1/3×2/5×(x^2+1)^(5/2)
=1/3×(x^2+1)^(3/2)(3/5x^2+2/5)+C（C为积分常数）

解答：
本题不是分部积分的题目，而是第一类换元积分的题目，具体做法如下：
∫
x^3(1+x^2)^(1/2)
dx=
∫
x^2(1+x^2)^(1/2)*x
dx=1/2*∫
x^2(1+x^2)^(1/2)dx^2
=1/2*∫
[(x^2+1)^(3/2)-(x^2+1)^(1/2)]d(x^2+1)
=1/2*2/5*[(x^2+1)^(5/2)-1/2*2/3*[(x^2+1)^(3/2)+C
=1//5*[(x^2+1)^(5/2)-1/3*[(x^2+1)^(3/2)+C