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甲型H1N1流感数学建模
摘　要:研究甲型H1N1流感的传播规律,将人群分为易感人群、病毒潜伏人群、发病人群、退出者
人群四类.分析了甲型H1N1流感在人群间的转化过程;注意到疫情主要受日接触率影响,不同的时段
日接触率的影响因素不同,建立了在未预防控制阶段的自然传播和在预防控制阶段的非自然传播两个
数学模型;最后给出了几点说明与思考.
关键词:甲型H1N1流感病毒;脉冲函数;日接触率;数学模型
0　引言
2009年3月墨西哥暴发“人感染猪流感”疫情,造成人员死亡.随即该“流感”有席卷全球之势,随
着感染人数的不断被刷新,WHO不断改变宣布,最终将流感大流行警告级别提高为6级[1].研究发现,
此次疫情的病原为变异后的新型甲型H1N1流感病毒(Swine influenza virus),该毒株包含有猪流感、禽
流感和人流感三种流感病毒的基因片段,可以在人间传播.WHO初始将此次流感疫情称为“人感染猪
流感”,但随着对疫情性质的深入了解,现已将其重新命名为“甲型H1N1流感”.
根据目前所掌握的资料[2],本次发生的甲型H1N1流感是由变异后的新型甲型H1N1流感病毒所
引起的急性呼吸道传染病.该病毒非常活跃,传播途径主要是通过飞沫或气溶胶经呼吸道传播,也可通
过口腔、鼻腔、眼睛等处黏膜直接或间接接触传播.潜伏期一般为1-7天,多为1-4天.流感病毒可能
在人体潜伏一段时间后才表现出病症.临床表现为流感样症状,包括发热(腋温≥37. 5℃)、流涕、鼻塞、
咽痛、咳嗽、头痛、肌痛、乏力、呕吐和(或)腹泻.可发生肺炎等并发症.甲流感的死亡率为6. 77%,比一
般流感要高.
本文将定量地研究甲型H1N1流感的传播规律,在必要的假设条件下,对甲型H1N1流感进行数学
建模,为预测和控制甲型H1N1流感蔓延创造条件.
1　甲型H1N1流感在人群间的转化过程
通过对甲型H1N1流感的观察与研究,可以将人群分为易感人群S、病毒潜伏人群E、发病人群I、退
出者人群R(包括死亡者和治愈者)四类.甲型H1N1流感的传染过程为:易感人群→病毒潜伏人群→发
病人群→退出者人群.由于甲型H1N1流感的传染期不是很长,故不考虑这段时间内的人口出生率和自
然死亡率.N表示疫区总人口数;S(t)表示t时刻健康人数占总人口数的比例;I(t)表示t时刻感染人数
占总人口数的比例;E(t)表示t时刻潜伏期的人数占总人口数的比例;R(t)表示t时刻退出人数占总人
口数的比例;λ(t)表示日接触率,即表示每个病人平均有效接触的人数.
易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者,设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为λ(t)
S(t),NI(t)个发病者平均每天能使λ(t)S(t)NI(t)个易感者成为病毒潜伏者.
在甲型H1N1流感在预防控制阶段,卫生部门的预防措施力度x(t)在控制疫情的过程中起到了重
要的作用,它与这些因素有关: (1)预防措施力度参考前段时间的疫情情况,不妨取近t天的平均值
A(t); (2)x(t)随疫情的增强而增加,前期增加较为缓慢,但疫情发展到一定程度后,社会对疫情的蔓延
变得敏感起来,后期预防力度加大,随之疫情的指标增长速度变慢; (3)当疫情最严重时,x(t)最大趋向
于1.由此,可以给出x(t)随疫情变化的近似表达式.
人们对甲型H1N1流感的警惕性程度也随疫情的变化而变化.在公布疫情初期,疫情的变化引起人
们很大的关注,警惕性程度随疫情的微小变化波动很大;到中后期波动逐渐变缓,直至平稳.可用y(t)
来表达人们的警惕性指标:当A(t)=0时,y(t)取常数表示人们固有的警惕性指数;当A(t)→+∞时,
A(t)→1,从而可以近似得到由A(t)所表达的y(t)的关系式.
人们的防范措施z(t)受预防措施力度x(t)和警惕性指标y(t)的影响,x(t)和y(t)对防范措施z(t)
的影响作用大致相当,故可取z(t)=0.5x(t)+0.5y(t).
λ(t)表示发病者平均每天有效接触的人数,可知,λ(t)是防范措施z(t)的函数,可以根据: (1)当防
范措施z(t)为零时,则λ(t)取最大值λ(预防控制前的未预防控制阶段的常数日传染率λ); (2)随防范
措施z(t)的增大,λ(t)会减小; (3)当防范措施z(t)超过一定的数值时,则对λ(t)的变化影响较明显,
当防范措施λ(t)趋近于1时,则λ(t)趋近于0.通过适当的拟合近似得到λ(t)随z(t)的关系表达式.
如此可以得到甲型H1N1流感在预防控制阶段的非自然传播模型:
其中的λ(t)是与每天新增死亡人数d(t)、新增确诊人数b(t)、新增疑似病例人数v(t)、卫生部门
的预防措施力度x(t)、人们对甲型H1N1流感的警惕性程度指标y(t)和防范措施z(t)有关的连续函
数.
4　几点说明与思考
(1)本文所建立的数学模型是在具体的假设和简化下给出的,这有其合理的方面.考虑到疫情主要
受日接触率λ(t)影响,不同的时段λ(t)的影响因素不同.
(2)将疫情传播过程分为在未预防控制阶段的自然传播和在预防控制阶段的非自然传播两个不同
阶段,所建立的甲型H1N1流感数学模型更加接近和符合实际情况.
(3)卫生部门的预防措施力度x(t)、人们对甲型H1N1流感的警惕性程度指标y(t)和防范措
施z(t)等很好地被量化了.模型中必要的参数量是可取的,相关的统计数据是期待着的,这依赖于
对甲型H1N1流感进行更为深入观察、统计和实验、研究等.
(4)由于模型较为复杂,求具体解析解是困难的,故可以考虑将微分方程转化为差分方程求解是可
行的.或可以进行必要的仿真分析等.
(5)预防措施是很关键的.采取严格的隔离措施,“早发现,早隔离”对防治甲型H1N1流感工作很
有必要性.
(6)人们警惕性防护也是有效的.洗手是第一要务,避免手部接触眼睛、鼻及口来,打喷嚏或咳嗽时
用手遮掩,发烧时尽早求医,注意为居住环境消毒,避免接触呼吸病人,不吃没有煮熟的猪肉,避免去拥
挤的人群等.
[参　考　文　献]
[1]　世卫将流感警戒级别提升至6级[OB/OL]. http: //news. sohu. com /20090612/n264486119. shtm.l /2009-9-23.
[2]　甲型H1N1流感、SARS与禽流感的异同[OB/OL]. http: //news. 163. com /special/00013A7D /SIV. htm.l / 2009-9-
23.
[3]　杨方廷.北京SARS疫情过程的仿真分析[J].系统仿真学报, 2003, 15(7): 991-998.
[4]　姜启源.数学模型[M]. 2版.北京:高等教育出版社, 1993.
[5]　寿纪麟.数学建模———方法与范例[M].西安:西安交通大学出版社, 1993