高数极值和拐点的判断

有一个函数f(x)=（|x|+1)/x,判断在x=1是不是f(x)的极值点

解：定义域：x≠0。因为是要判断x=1是不是极值点，因此只研究x>0的情况。此时f(x)=(x+1)/x.

由于f'(x)=[x-(x+1)]/x²=-1/x²<0在(0，+∞)内恒成立，即f(x)=(x+1)/x=1+(1/x)在x>0时是单调递减

的函数，没有极值点。你可能没有打开绝对值符号就在那儿求导。事实上，在x>0时，|x|=x，故f(x)=(x+1)/x=1+(1/x)的图像是把反比例函数y=1/x的图像向上平移一个单位得到的，不可能有极

值点。

x<0时，f(x)=(-x+1)/x=-1+(1/x)，是把反比例函数y=1/x在x<0时的图像向下平移一个单位得到的，因此在x<0时，该函数也没有极值点。其导数f'(x)=-1/x²<0在(-∞，0)内也恒成立。即在(-∞，0)

内也时减函数。

这个函数只有一个间断点x=0；在x<0和x>0时都是连续的，f'(1)=-1，f'(-1)=-1；x=1既非极值点

也不是拐点。x→-1limf'(x)=x→+1limf'(x)=f'(1)=-1；即在x=1处的左右导数都是-1。

f(x)=(|x|+1)/x的图像如下：

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