不定积分的几何意义

由于函数f（x）的不定积分中含有任意常数c，因此对于每一个给定的c，都有一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一条确定的曲线，称为f（x）的积分曲线。因为c可以取任意值，因此不定积分表示f（x）的一簇积分曲线，而f（x）正是积分曲线的斜率。由于积分曲线簇中的每一条曲线，对应于同一横坐标x=x0的点处有相同的斜率f（x0），所以对应于这些点处，它们的切线互相平行，任意两条曲线的纵坐标之间相差一个常数。所以，积分曲线簇y=f（x）+c中每一条曲线都可以由曲线y=f（x）沿y轴方向上、下移动而得到。

答：被积分函数是f(x)=x^2015sin^6x+sin^6x=h(x)+g(x);因为h(x)是奇函数，对称区间积分为0；g(x)=sin^6x是偶函数，运用半角公式：(sin^2x)^3=[(1-cos2x)/2]^3=(1/8)[1-3cos(2x)-3cos^2(2x)-cos^3(2x)]=(1/8){1-3cos2x+(3/2)(1+cos4x)-cos2x[1-sin^2(2x)}=(1/16)[5-6cos(2x)+...];注意到三角函数在其整个周期内的积分=0；
原式=(1/8)∫(0,π/2)
5dx=(1/8)[5x](0.π/2)=5π/16。

简单分析一下，答案如图所示