高考数学中圆锥曲线的经典例子？

2025-03-01 06:37:55

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椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．
分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值．
解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得．
又，所以，适合．故．
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．
分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，
求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．
解：当焦点在轴上时，设其方程为．
由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．
当焦点在轴上时，设其方程为．
由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．
例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．
分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解．
（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程．
解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，
故其方程为．
（2）设，，则． ①
由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．
例4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．
从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，
可求出，，从而．
∴所求椭圆方程为或．
例5 已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．
解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知： • ．①
由椭圆定义知： ②，则得．
故．
例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．
解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，
即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，
即．∴点的轨迹是以，为两焦点，
半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．
说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
例7 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，
求线段中点的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则

①－②得．
由题意知，则上式两端同除以，有，
将③④代入得．⑤

（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为：． ⑥
将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．
（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）
（3）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）
（4）由①＋②得：， ⑦，将③④平方并整理得
， ⑧，， ⑨
将⑧⑨代入⑦得：， ⑩
再将代入⑩式得：，即．
此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
例8 已知椭圆及直线．
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，
即．，解得．
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．
根据弦长公式得：．解得．方程为．
说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．
用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
例9 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．
分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．
解：如图所示，椭圆的焦点为，．
点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为．
解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小．
所求椭圆的长轴：，∴ ，又，
∴ ．因此，所求椭圆的方程为．
例10 已知方程表示椭圆，求的取值范围．
解：由得，且．
∴满足条件的的取值范围是，且．
说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆．

例11 已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．
分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围．
解：方程可化为．因为焦点在轴上，所以．
因此且从而．
说明：(1)由椭圆的标准方程知，，这是容易忽视的地方．
(2)由焦点在轴上，知，． (3)求的取值范围时，应注意题目中的条件．
例12　求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程．
分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，
可设其方程为 ( ， )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．
解：设所求椭圆方程为 ( ， )．由和两点在椭圆上可得
即所以，．故所求的椭圆方程为．
例13 知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹．
分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹．
解：设点的坐标为，点的坐标为，则，．
因为在圆上，所以．
将，代入方程得．所以点的轨迹是一个椭圆．
说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为，
设已知轨迹上的点的坐标为，然后根据题目要求，使，与，建立等式关系，
从而由这些等式关系求出和代入已知的轨迹方程，就可以求出关于，的方程，
化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．
例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．
分析：可以利用弦长公式求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．
解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
．因为，，所以．因为焦点在轴上，
所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．
由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，，从而．
(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．
由题意可知椭圆方程为，设，，则，．
在中，，即；
所以．同理在中，用余弦定理得，所以．
(法3)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标．
再根据焦半径，，从而求出．
例15　椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为A．4　　　B．2　　C．8　　D．

解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一定义得，所以，
又因为为的中位线，所以，故答案为A．

说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．
(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．
例16 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．
分析：若设椭圆上，两点关于直线对称，则已知条件等价于：(1)直线；(2)弦的中点在上．
利用上述条件建立的不等式即可求得的取值范围．
解：(法1)设椭圆上，两点关于直线对称，直线与交于点．
∵ 的斜率，∴设直线的方程为．由方程组消去得
　　①。∴ ．于是，，
即点的坐标为．∵点在直线上，∴ ．解得．　②
将式②代入式①得　　③
∵ ，是椭圆上的两点，∴ ．解得．
(法2)同解法1得出，∴ ，
，即点坐标为．
∵ ，为椭圆上的两点，∴ 点在椭圆的内部，∴ ．解得．
(法3)设，是椭圆上关于对称的两点，直线与的交点的坐标为．
∵ ，在椭圆上，∴ ，．两式相减得，
即．∴ ．
又∵直线，∴ ，∴ ，即　①。
又点在直线上，∴ 　　②。由①，②得点的坐标为．以下同解法2.
说明：涉及椭圆上两点，关于直线恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：
(1)利用直线与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式，建立参数方程．
(2)利用弦的中点在椭圆内部，满足，将，利用参数表示，建立参数不等式．
例17 在面积为1的中，，，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程．

解：以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设．
则 ∴ 即 ∴ 得

∴所求椭圆方程为
例18 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．
分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去 (或 )，得到关于 (或 )的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出， (或， )的值代入计算即得．
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．
解：方法一：设所求直线方程为．代入椭圆方程，整理得
　①
设直线与椭圆的交点为，，则、是①的两根，∴
∵ 为中点，∴ ，．∴所求直线方程为．
方法二：设直线与椭圆交点，．∵ 为中点，∴ ，．
又∵ ，在椭圆上，∴ ，两式相减得，
即．∴ ．∴直线方程为．
方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为，另一个交点．
∵ 、在椭圆上，∴ 　　①。　　　　　②
从而，在方程①－②的图形上，而过、的直线只有一条，∴直线方程为．
说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．
若已知焦点是、的椭圆截直线所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？