已知π⼀2<β<α<3π⼀4，sin(α-β)=5⼀13,cos(α+β)=-4⼀5,求cos2α

这是和差化积公式。
和差化积公式:
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 和差化积公式由积化和差公式变形得到。 积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。推导过程: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
把两式相加得到:sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 所以,sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
同理,把两式相减,得到:cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 把两式相加,得到:cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ
所以,cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
同理,两式相减,得到sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
这样,得到了积化和差的四个公式:
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的α+β设为θ,α-β设为φ, 那么α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2
把α,β分别用θ,φ表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

π/2<β<α<3π/4,则0<α-β<π/4 in(α+β)和cos(α+β)均为正sin(α-β)=5/13=sinαcosβ-cosαsinβ…………(1)
于是cos(α-β)=√[1-sin^2 (α-β)]=12/13=cosαcosβ+sinαsinβ [^2指平方]…………(2)

π/2<β<α<3π/4，则π<(α+β)<3π/2 sin(α+β)和cos(α+β)均为负
cos(α+β)= -4/5=cosαcosβ-sinαsinβ…………(3)
于是sin(α+β)=[1-cos^2 (α+β)]= -3/5=sinαcosβ+cosαsinβ…………(4)
由(1)(4)得，sinαcosβ= -7/65……(5) cosαsinβ= -32/65……(6)
由(2)(3)得，cosαcosβ=4/65……(7) sinαsinβ=56/65……(8)
(5)+(8)得，sinα(cosβ+sinβ)=49/65 ……(9)
(6)+(7)得，cosα(cosβ+sinβ)= -28/65……(10)
(9)/(10)得，tanα= -7/4
两边平方得，tan^2 α=49/16
于是1+tan^2 α=65/16=1+(sin^2 α/cos^2 α)=(sin^2 α+cos^2 α)/cos^2 α=1/cos^2 α
于是cos^2 α=16/65 于是cos2α=2*cos^2 α-1=32/65-1= -33/65

π/6＜β＜α＜3π/4
cos(α-β)=12/13
所以0＜α-β＜π/2
故sin(α-β)=√[1-(12/13)^2]=5/13
sin(α+β)=-3/5
所以π＜α+β＜3π/2
那么cos(α+β)=-√[1-(-3/5)^2]=-4/5
所以sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=(5/13)*(-4/5)+(12/13)*(-3/5)=-56/65