解:令 f(x)=x^5 -5x +1 则f'(x)=5x^4 -5=5(x^4 -1)=5(x2+1)(x2-1) 令 f'(x)>0，得 x2>1，解得 x>1或x<-1 从而 f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上是增函数，在(-1，1）上是减函数。又 f(0)=1，所以 f(0)f(-1)<0，而f(x)在(0,1)上减，即 f(x)在(0,1)上有且只有一个零点。从而 方程x^5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根.
f(x)=x^5+5x-1
f(0) =-1<0
f(1)=1+5-1 = 5 >0
=>
x^5+5x-1=0在开区间（0，1）内至少有一个根
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