x(n+1)=(xn+4)⼀(xn+1),x1=1,证明,绝对值(xn-2)<=2-2^1-n,如何用迭代放缩

第一种做法：先求出xn的通项。迭代不动点为2和-2，因此考虑x(n+1)-2=-(xn-2)/(xn+1) x(n+1)+2=3(xn+2)/(xn+1)，两式相除得[x(n+1)-2]/[x(n+1)+2]=(-1/3)[xn-2]/[xn+2]，因此(xn-2)/(xn+2)是首项为-1/3，公比-1/3的等比数列，得(xn-2)/(xn+2)=(-1/3)^n，由此解出xn=2[3^n+(-1)^n]/[3^n-(-1)^n]，有了通项公式，利用数学归纳法可以证明结论。
第二种做法：先用归纳法证明|xn-2|/(xn+1)<=1/2^n。n=1时结论成立。若n=k时结论成立，则n=k+1时，|x(k+1)-2|/(x(k+1)+1)=|xk-2|/(2xk+5)<|xk-2|/2(xk+1)<1/2^(k+1)。再用归纳法证明结论不等式。n=1时结论成立。若n=k时结论成立，则n=k+1时，左边<=2-1/2^(k-1)+|x(k+1)-2|=2-1/2^(k-1)+|xk-2|/(xk+1)<=2-1/2^(k-1)+1/2^k=2-1/2^k。

两边-2
x(n+1) -2=(-xn+2)/(xn-2+3), 两边倒数，取{Bn=Xn-2}
1/B(n+1)=-1-3/Bn 两边加0.25，取{Cn=1/Bn+0.25}
C(n+1)=-3Cn, C1=-0.75=-3/4
Cn=(-3)^n/4
Bn=1/(Cn-0.25)=4/[(-3)^n -1], 当k为奇数时<0,否则>0
|Bn|=4/[3^n-(-1)^n]
看来是需要的归纳法证明。
在n=1,2,3时验证成立
假设n=K时成立。
则K+1时不等式右边变化值为1/2^(n-1) -1/2^(n-2)=4/2^n
绝对值(xn-2)累加变化为：4/(3^n正负1)<4/2^n，只要n>2,成立。
所以不等式依然成立。