已知0<n<m ，且a、b均为正数，求证：n√[(a^n+b^n)⼀2] ≤ m√[(a^m+b^m)⼀2] 根号前面的n是开n次方根。

你的类比简单却挺妙，是正确的！既然那么多人说求导，那我就求导好了。log（A）e表示以A为底的e的对数。
证明：1：设f(n)=n√[(a^n+b^n)/2],令x代替n,设b/a=A>0,则 f(x)=a·x√[(1+A^x)/2]，（x>o） 故令g(x)=x√[(1+A^x)/2]，导出g(x)单调性即可知道f(x)单调性。
2：要把指数（1/x）去掉，就对g(x)取自然对数，于是有：lng(x)=1/x·ln[(1+A^x)/2]. 设 y=1/x·ln[(1+A^x)/2]. 则y的单调性与g(x)单调性相同.
3：对y求导有： y'=A^x·log(A)e/(1+A^x)·x-ln[(1+A^x)/2]/x^2={x·A^x·log（A）e-(1+A^x)·ln[(1+A^x)/2]}/(1+A^x)·x 明显y'中分母(1+A^x)·x大于0，故只需判断分子符号.故对分子继续求导.
4：令t(x)=x·A^x·log（A）e-(1+A^x)·ln[(1+A^x)/2], 对t(x)求导，有：t'(x)=x·A^x·[log（A）e]^2-A^x·log（A）e·ln[(1+A^x)/2]=A^x·log（A）e{x·log（A）e-ln[(1+A^x)/2]}，
5：欲判断t'(x)是否恒大于0，还需对log（A）e{x·log（A）e-ln[(1+A^x)/2]}求一次导，
6：设k(x)=x·log（A）e^2-ln[(1+A^x)/2]·log（A）e，k'(x)=log（A）e^2-log（A）e^2·A^x/1+A^x=log（A）e^2·{1-[A^x/1+A^x]}，明显{1-[A^x/（1+A^x）]}大于0，故k'(x)符号与log（A）e^2相同.即k'（x）恒大于或等于0，且k'(x)=o时，A=1，此时将A=1代入k(x)，K(x)取的最小值0，即k(x)为恒增加函数.且k(x)恒大于或等于0
7：又因为t'(x)=x·k(x)，x>0,所以t'(x)恒大于或等于0，t(x)为恒增加函数，
8：重点： 当t'(x)=0时，t(x)取得最小值。且最小值为A=1时取得，此时将A=1代入t(x),t(x)=0， 即y'最小值也为0，故y为恒增加函数.
结论：一： 当log(A)e=0时，即 A=1→a=b时，y为常数函数，即y值恒定。g(x)恒定。此时就是等号成立条件。
二：log(A)e不等于0时，即A不等于1时，函数y为增函数。g(x)为增函数。 假设命题得证。
若有什么问题，哪里有疑惑请尽管找我。

y=x*sqrt((a^x+b^x)/2);

dydx =

1/2*(2*a^x+2*b^x)^(1/2)+1/4*x/(2*a^x+2*b^x)^(1/2)*(2*a^x*log(a)+2*b^x*log(b))

图片是a=3 b=5的情况

显然dydx>0

由于a和b的地位是对称的，不妨假设b>=a>0. 命题转化为证[(1+(b/a)^m)/2]^(1/m)>=[(1+(b/a)^n)/2]^(1/n). 进一步转化为(1/m)*log[(1+(b/a)^m)/2]>=(1/n)*log[(1+(b/a)^n)/2]. 如果令A=b/a(>=1),则化为(1/m)*log[(1+A^m)/2]>=(1/n)*log[(1+A^n)/2]. 令f(A)=(1/m)*log[(1+A^m)/2]-(1/n)*log[(1+A^n)/2], 则f'(A)=[1/(1+A^n)-1/(1+A^m)]/A>=0,由此推出f(A)在A>=1上为单调增函数。
故f(A)>=f(1)=0,又此可证得不等式。而最小值在A=1时取得，即在a=b时等号成立。

f=(a^x+b^x)^(1/x)，求f'（导函数）证明其在(0,正无穷）上大于0即可。
具体的求导方法，记I=(a^x+b^x)^(1/x)，两边去对数，ln I =(1/x)*ln（ (a^x+b^x)）。
两边同时求导，右边的自己算，左边是I' / I 。 将I乘到右边就可以求出I'了。
非常常规的处理办法，楼主演算后可以采纳。

可以构造一个函数：
f=(a^x+b^x)^(1/x)
然后用求导的方法证明它是增函数，
就可以证明上述不等式。