（I）由已知，f（0）=0，f′（x）=
，且f′（0）=0…3分(1?2λ)x?λx2
(1+x)2
若λ＜
，则当0＜x＜2（1-2λ）时，f′（x）＞0，所以当0＜x＜2（1-2λ）时，f（x）＞0，1 2
若λ≥
，则当x＞0时，f′（x）＜0，所以当x＞0时，f（x）＜01 2
综上，λ的最小值为
…6分1 2
（ II）令λ=
，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即1 2
＞ln(1+x)x(2+x) 2+2x
取x=
，则1 k
＞ln(2k+1 2k(k+1)
)…9分k+1 k
于是a2n-an+
=1 4n
+1 n+1
+…+1 n+2
+1 2n
1 4n
=
+1 2(n+1)
+1 2(n+1)
+1 2(n+2)
+1 2(n+2)
+…+1 2(n+1)
+1 4n
+1 4n
1 4n
=
+1 2n
+1 2(n+1)
+1 2(n+1)
+1 2(n+2)
+1 2(n+2)
+…++1 2(n+3)
+1 2(2n?1)
+1 2(2n?1)
1 4n
=
2n?1
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