二次函数知识点越详细越好 3Q

2025-03-01 14:54:03

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回答1：

定义与定义表达式
　　我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。一般的，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数。自变量（通常为x）和因变量（通常为y）。右边是整式，且自变量的最高次数是2。　　注意，“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。未知数只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），变量可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。
二次函数的解法
　　二次函数的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三个点将三个点的坐标代入也就是说三个方程解三个未知数　　如题方程一8=a2+b2+c 化简 8=c 也就是说c就是函数与Y轴的交点。　　方程二7=a×36+b×6+c 化简 7=36a+6b+c。　　方程三7=a×(-6)2+b×(-6)+c化简 7=36a-6b+c。　　解出a,b,c 就可以了。　　上边这种是老老实实的解法。　　对(6,7)(-6,7)这两个坐标可以求出一个对称轴也就是X=0 。　　通过对称轴公式x=-b/2a 也可以算。　　如果知道过x轴的两个坐标(y=0的两个坐标的值叫做这个方程的两个根)也可以用对称轴公式x=-b/2a算。　　或者使用韦达定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中。　　设两个根为X1和X2 　　则X1+X2= -b/a 　　X1·X2=c/a 　　已知顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，设y=a(x-1)2+2,把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)2+2
一般式
　　y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为（-b/2a,4ac-b^2/4a)
顶点式
　　y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
交点式
　　y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0] 　　由一般式变为交点式的步骤：
二次函数(16张)　　∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a 　　∴y=ax^2+bx+c 　　=a（x^2+b/ax+c/a）　　=a[﹙x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 　　重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）
　　y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1·x2)(y1为截距) 求根公式
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式
　　x是自变量，y是x的二次函数　　x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac)]/2a 　　(即一元二次方程求根公式）（如右图）　　　求根的方法还有因式分解法和配方法　　二次函数与X轴交点的情况　　当△=b^2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。　　当△=b^2-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点。　　当△=b^2-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。
编辑本段图像
　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。　　注意：草图要有　　1本身图像，旁边注明函数。　　2画出对称轴，并注明直线X=什么（X= -b/2a）　　3与X轴交点坐标（x1,y1);(x2, y2)，与Y轴交点坐标(0,c)，顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a).
轴对称
　　1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h或者x=-b/2a 　　对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。　　特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）　　a,b同号，对称轴在y轴左侧　　　b=0,对称轴是y轴　　a,b异号，对称轴在y轴右侧
顶点
　　2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 　　当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2;+k 　　h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a
开口
　　3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。　　当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。　　|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素
　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。　　当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号　　当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号　　可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。　　事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的　　斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定二次函数图像与y轴交点的因素
　　5.常数项c决定二次函数图像与y轴交点。　　二次函数图像与y轴交于（0,C）　　注意：顶点坐标为（h,k) 与y轴交于（0,C)
二次函数图像与x轴交点个数
　　6.二次函数图像与x轴交点个数　　a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。　　k=0时，二次函数图像与x轴有1个交点。　　a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点　　_______ 　　当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向　　上，函数的值域是y>k 　　当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymix=k，在x>h范围内事增函数，在　　x特殊值的形式
　　7.特殊值的形式　　①当x=1时 y=a+ah2+2ah+k 　　②当x=-1时 y=a+ah2-2ah+k 　　③当x=2时 y=4a+ah2+8ah+k 　　④当x=-2时 y=4a+ah2-8ah+k
二次函数的性质
　　8.定义域：R 　　值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，　　正无穷）；②[t，正无穷）　　奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。　　周期性：无　　解析式：　　①y=ax^2;+bx+c[一般式] 　　⑴a≠0 　　⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；　　⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；　　⑷Δ=b2-4ac, 　　Δ>0，图象与x轴交于两点：　　（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；　　Δ=0，图象与x轴交于一点：　　（-b/2a，0）；　　Δ<0，图象与x轴无交点；　　②y=a(x-h)2+k[顶点式] 　　此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a 　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）　　对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X 　　的增大而减小　　此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连　　用）。　　交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。
编辑本段两图像对称
　　对于一般式：　　①y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称　　②y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称　　③y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx+c-2b^2*|a|/4a^2关于顶点对称　　④y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称。　　对于顶点式：　　①y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴对称，即顶点（h,k）和（－h,k）关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标相同。　　②y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴对称，即顶点（h,k）和（h,－k）关于y轴对称，横坐标相同，纵坐标相反。　　③y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称，即顶点（h,k）和（h,k）相同，开口方向相反。　　④y=a(x-h)^2+k与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称，即顶点（h,k）和（－h,－k）关于原点对称，横坐标相反，纵坐标相反。　　（其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）
编辑本段二次函数与一元二次方程
　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），　　即ax^2+bx+c=0 　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。　　1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：　　解析式顶点坐标对称轴　　y=ax^2 (0，0) x=0 　　y=ax&^2+K (0，K) x=0 　　y=a(x-h)^2 (h，0) x=h 　　y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h 　　y=ax^2;+bx+c (-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a 　　　　当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k>0）的图象　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k<0）的图象　　当h<0,k>0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k>0）的图象　　当h<0,k<0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k<0）的图象　　在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。　　因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。　　2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。　　3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。　　4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；　　(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x1-x2| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；　　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。　　5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。　　6．用待定系数法求二次函数的解析式　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：　　y=ax^2+bx+c(a≠0)。　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。

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