schur 不等式证明，详细点谢谢，下周回来看

2025-02-27 17:25:57

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回答1：

舒尔（Schur）不等式　　说明，对于所有的非负实数x、y、z和正数t，都有：已知x,y,z>=0
　　则∑(x^t)(x-y)(x-z)>=0
　　当且仅当x = y = z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。
　　舒尔(schur)不等式的证明：
　　不妨设x>=y>=z
　　∑x(x-y)(x-z)
　　=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)
　　>=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)
　　>=x(x-y)(y-z)+y(y-x)(y-z)
　　=(x-y)^2(y-z)
　　>=0
　　t不是1时同理可证
　　事实上，当t为任意实数时，我们仍可证明Schur不等式成立。
　　Schur不等式虽不是联赛大纲中规定掌握的不等式，但在联赛不等式证明题中仍能发挥重要作用。赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(Otto H?lder)。这是一条揭示Lp空间的相互关系的基本不等式：设S为测度空间，，及，设f在Lp(S)内，g在Lq(S)内。则f g在L1(S)内，且有。若S取作{1,...,n}附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：对所有实数（或复数）x1, ..., xn; y1, ..., yn，有。我们称p和q互为赫尔德共轭。若取S为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式。当p = q = 2，便得到柯西-施瓦茨不等式。赫尔德不等式可以证明Lp空间上一般化的三角不等式，闵可夫斯基不等式，和证明Lp空间是Lq空间的对偶。[编辑] 备注在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||p和||g||q表示（可能无穷的）表达式：以及如果p = ∞，那么||f ||∞表示|f |的本性上确界，||g||∞也类似。在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞，则得出 ∞。 [编辑] 证明赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。如果||f ||p = 0，那么f μ-几乎处处为零，且乘积fg μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q = 0也是这样。因此，我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。如果p = ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f ||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q = ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。分别用f和g除||f ||p||g||q，我们可以假设：我们现在使用杨氏不等式：对于所有非负的a和b，当且仅当ap = bq时等式成立。因此：两边积分，得：这便证明了赫尔德不等式。在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β > 0（即α = ||g||q且β = ||f ||p），使得：μ-几乎处处 (*) ||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。||g||q = 的情况对应于(*)中的α = 0。****************************希望对你有用

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