如何用导数对数列求和？

2025-04-14 10:11:40

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回答1：

用导数求和,就是先对不易求解的和式先求导，然后再积分。前提是求导后的和式易于求解。
但是你所举之例，不易于用导数求解，因为：
求导前;
ax,ax^2,ax^3,....a*x^n——求和容易。
求导后：
a,2ax,3a^2,....nax^(n-1)——求和麻烦。
举例：
ax,ax^2/2,ax^3/3,....a*x^n/n
Sn=ax+ax^2/2+ax^3/3+....+a*x^n/n
dSn/dx=a+ax+ax^2+....+ax^(n-1)
[导数公式：d(ax^n)/dx=nax^(n-1)]
dSn/dx=a(1-x^n)/(1-x)
上式x取值范围不同，结论不同，为简单期间，设0当n趋于无穷大时，dSn/dx=a/(1-x)
将上式两边同时积分得：
S=-aln(1-x)