求助~二元函数连续性的问题~

如果仅仅判断函数在原点的可微性，也可以用可微的定义来解.

给你两种解法，但在此打印数学公式太纠集，发个邮件给你吧，你的信箱是？

观察函数的特性：f(x,y)=f(y,x)，因此求该函数偏导数时，我只求对x的，再将x与y互换，即得到对y的偏导数。偏导数很好求，f'x = 2xy^4 / (x^2 + y^2)^2 f'y = 2(x^4)y / (x^2 + y^2)^2
第一式中将y看做常数0，将x趋近于零，得f'x（0,0）= 0 同理f'y（0,0）= 0
由可微的性质：如果f(x,y) - f(0,0) - f'x（0,0）* x - f'y（0,0）* y 在x，y均趋于零的情况下是
(x^2+y^2)^(0.5) 的无穷小量，则证明f(x,y)在(0,0)点可微，否则不可微。
计算时考虑运用不等式的放缩，因为x^2 y^2 = (xy)^2 <= [(x^2 + y^2)/2]^2，所以：
0 <= (x^2 y^2)/(x^2+y^2) <= [(x^2 + y^2)/2]^2 / (x^2+y^2) = [(x^2 + y^2)^(0.5)] / 4
等式最右边的项当x,y趋于零时等于零，依夹逼定理，(x^2 y^2)/(x^2+y^2)当x,y趋于零时极限为零，因此可微，df|(0,0) = 0dx + 0dy = 0
以x的偏导数为例，求当x,y趋于零时2xy^4 / (x^2 + y^2)^2，再次运用放缩：
2xy^4 = (y^3)*2xy <= (y^3)*(x^2 + y^2)，所以：
0 <= | 2xy^4 / (x^2 + y^2)^2 | <= | (y^3)*(x^2 + y^2) / (x^2 + y^2)^2 | = | y*[(y^2) / (x^2 + y^2)] | <= |y|
由夹逼定理得 | 2xy^4 / (x^2 + y^2)^2 | 趋于零，即| 2xy^4 / (x^2 + y^2)^2 | < e (e为任意常数)
所以依极限的最基本法则，当x,y趋于零时2xy^4 / (x^2 + y^2)^2的极限为0，即x的偏导数在(0,0)点连续，同理y的偏导数在(0,0)点连续