解释“平稳遍历的加性窄带高斯白噪声”的含义

2025-03-01 19:38:06

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回答1：

2.5 通信中的常见噪声
本节知识要点：

白噪声高斯噪声误差函数

互补误差函数高斯型白噪声窄带高斯噪声

窄带系统正弦信号加窄带高斯噪声

本节介绍几种噪声，它们在通信系统的理论分析中常常用到，实际统计与分析研究证明，这些噪声的特性是符合具体信道特性的。

2.5.1 白噪声在通信系统中，经常碰到的噪声之一就是白噪声。所谓白噪声是指它的功率谱密度函数在整个频域内是常数，即服从均匀分布。之所以称它为“白”噪声，是因为它类似于光学中包括全部可见光频率在内的白光。凡是不符合上述条件的噪声就称为有色噪声。
白噪声的功率谱密度函数通常被定义为

（2-22）

式中，是一个常数，单位为W/Hz。若采用单边频谱，即频率在（）的范围内，白噪声的功率谱密度函数又常写成

（2-23）

由信号分析的有关理论可知，功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对，即

（2-24）

因此，白噪声的自相关函数为

（2-25）

式（2-25）表明，白噪声的自相关函数是一个位于处的冲激函数，它的强度为。这说明，白噪声只有在/2时才相关，而在任意两个不同时刻上的随机取值都是不相关的。白噪声的功率谱密度及其自相关函数，如图2-11所示。

实际上完全理想的白噪声是不存在的，通常只要噪声功率谱密度函数均匀分布的频率范围远远超过通信系统工作频率范围时，就可近似认为是白噪声。例如，热噪声的频率可以高到Hz，且功率谱密度函数在0～Hz内基本均匀分布，因此可以将它看作白噪声。
2.5.2 高斯噪声在实际信道中，另一种常见噪声是高斯噪声。所谓高斯噪声是指它的概率密度函数服从高斯分布（即正态分布）的一类噪声。其一维概率密度函数可用数学表达式表示为

（2-26）

式中，为噪声的数学期望值，也就是均值；为噪声的方差。
通常，通信信道中噪声的均值=0。由此，我们可得到一个重要的结论：在噪声均值为零时，噪声的平均功率等于噪声的方差。证明如下：
因为噪声的平均功率

（2-27）

而噪声的方差为

（2-28）

所以，有

（2-29）

上述结论非常有用，在通信系统的性能分析中，常常通过求自相关函数或方差的方法来计算噪声的功率。
由于高斯噪声在后续章节中计算系统抗噪声性能时要反复用到，下面予以进一步讨论。
式（2-26）可用图2-12表示。

由公式（2-26）和图2-12容易看出高斯噪声的一维概率密度函数具有如下特性：
（l）对称于直线，即有

（2-30）

（2）在内单调上升，在内单调下降，且在点处达到极大值。当时

（3）（2-31）

（2-32）

且有
（4）表示分布中心，表示集中的程度。对不同的，表现为的图形左右平移；对不同的，的图形将随的减小而变高和变窄。
（5）当，时，相应的正态分布称为标准化正态分布，这时有

(2-33）

现在再来看正态概率分布函数。
概率分布函数用来表示随机变量x的概率分布情况，按照定义，它是概率密度函数的积分，即

(2-34)

将式（2-26）正态概率密度函数代入，得正态概率分布函数为

(2-35)

这个积分不易计算，常引入误差函数来表述。所谓误差函数，它的定义式为

（2-36）

并称为互补误差函数，记为，即

（2-37）

可以证明，利用误差函数的概念，正态分布函数可表示为

（2-38）

用误差函数表示的好处是，借助于一般数学手册所提供的误差函数表，可方便查出不同x值时误差函数的近似值（参见附录B），避免了式（2-35）的复杂积分运算。此外，误差函数的简明特性特别有助于通信系统的抗噪性能分析，在后续的内容中将会看到，式（2-36）和式（2-37）在讨论通信系统抗噪声性能时，非常有用。
为了方便以后分析，在此给出误差函数和互补误差函数的主要性质：
（1）误差函数是递增函数，它具有如下性质
1）；
2）。
（2）互补误差函数是递减函数，它具有如下性质
1）；
2）；
3）。

2.5.3 高斯型白噪声
我们已经知道，白噪声是根据噪声的功率谱密度是否均匀来定义的，而高斯噪声则是根据它的概率密度函数呈正态分布来定义的，那么什么是高斯型白噪声呢？
高斯型白噪声也称高斯白噪声，是指噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时它的功率谱密度函数是常数的一类噪声。这里值得注意的是，高斯型白噪声同时涉及到噪声的两个不同方面，即概率密度函数的正态分布性和功率谱密度函数均匀性，二者缺一不可。
在通信系统的理论分析中，特别是在分析、计算系统抗噪声性能时，经常假定系统中信道噪声（即前述的起伏噪声）为高斯型白噪声。其原因在于，一是高斯型白噪声可用具体的数学表达式表述（比如，只要知道了均值和方差，则高斯白噪声的一维概率密度函数便可由式（2-26）确定；只要知道了功率谱密度值/2，高斯白噪声的功率谱密度函数便可由式（2-22）决定），便于推导分析和运算；二是高斯型白噪声确实反映了实际信道中的加性噪声情况，比较真实地代表了信道噪声的特性。

2.5.4 窄带高斯噪声
通信的目的在于传递信息，通信系统的组成往往是为携带信息的信号提供一定带宽的通道，其作用在于一方面让信号畅通无阻，同时最大限度的抑制带外噪声。所以实际通信系统往往是一个带通系统。下面研究带通情况下的噪声情况。
1. 窄带高斯噪声的定义与表达式
当高斯噪声通过以为中心角频率的窄带系统时，就可形成窄带高斯噪声。所谓窄带系统是指系统的频带宽度远远小于其中心频率的系统，即的系统。这是符合大多数信道的实际情况的。
窄带高斯噪声的特点是频谱局限在附近很窄的频率范围内，其包络和相位都在作缓慢随机变化。如用示波器观察其波形，它是一个频率近似为，包络和相位随机变化的正弦波。
因此，窄带高斯噪声可表示为

（2-39）

式中，为噪声的随机包络；为噪声的随机相位。相对于载波的变化而言，它们的变化要缓慢的多。
窄带高斯噪声的频谱和波形示意图如图2-13所示。

将式（2-39）展开，可得窄带高斯噪声的另外一种表达形式，即

（2-40）

其中

（2-41）

（2-42）

式中及分别称为的同相分量和正交分量。可以看出，它们的变化相对于载波的变化也要缓慢的多。
点此看窄带噪声的flash
2. 统计特性
由式（2-39）及式（2-40）可以看出，窄带高斯噪声的统计特性可由、或、的统计特性确定。反之，由的统计特性也可确定、或、的统计特性。下面将不加证明地给出几个今后特别有用的结论。
（1）一个均值为零，方差为的窄带高斯噪声，假定它是平稳随机过程（通信系统中的噪声一般均满足），则它的同相分量、正交分量同样是平稳高斯噪声，且均值都为零，方差也相同。即
（2-43）

（2-44）

式（2-44）常可表示为

（2-45）

这里，、、分别表示窄带高斯噪声、同相分量和正交分量的方差（亦即功率）。
（2）一个均值为零，方差为的窄带高斯噪声，假定它是平稳随机过程，则其随机包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。即

（2-46）

（2-47）

和的波形如图2-14所示。

2.5.5 正弦信号加窄带高斯噪声信道中加性噪声无时不在，信号经过信道传输总会受到它的影响。因此，接收端收到的信号实际上是信号与噪声的合成波。通信系统中，常常碰到的合成信号具有正弦信号加窄带高斯噪声的形式，如在分析2ASK、2FSK、2PSK等信号抗噪声性能时，其信号均为形式。下面研究该合成信号的包络及其相位的统计特性。
正弦信号加上信道噪声后的合成信号可以表示为

（2-48）

式中

为信道加性窄带高斯噪声；

（2-49）

　（2-50）

分别为合成信号的随机包络和随机相位。
可以证明，正弦信号加窄带高斯噪声所形成的合成信号具有如下统计特性：
（1）正弦信号加窄带高斯噪声的随机包络服从广义瑞利分布（也称莱斯（Rice）分布），即其包络的概率密度函数为

（2-51）

式中，为零阶修正贝赛尔函数。时，是单调上升函数，且有=1。显见，当信号幅度时，其随机包络将服从瑞利分布。
（2）正弦信号加窄带高斯噪声的随机相位分布与信道中的信噪比有关，不再是均匀分布了。当信噪比很小时，它接近于均匀分布
正弦信号加窄带高斯噪声的包络和相位分布如图2-15所示。

回答2：

http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2007/15/wangluokecheng/text/2.5.htm
去这看看，可能对你有帮助

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