阿Q吧 > 二阶非齐次微分方程 y✀✀+2y✀+y=(e^(-x))⼀x 题目求解！

二阶非齐次微分方程 y✀✀+2y✀+y=(e^(-x))⼀x 题目求解！

2024-12-04 09:58:17

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回答1：

解：∵齐次方程y''+2y'+y=0的特征方程是r²+2r+1=0，则r=-1（重根）
∴此齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^(-x)
(C1,C2是任意常数)
于是，根据齐次方程的通解，设原方程的解为
y=(C1(x)x+C2(x))e^(-x)
(C1(x),C2(x)表示关于x的函数)
根据高阶方程常数变易法，求得
C1(x)=ln│x│+1+C1，C2(x)=C2-x
(C1,C2是任意常数)
即y=(xln│x│+C1x+C2)e^(-x)
故原方程的通解是y=(xln│x│+C1x+C2)e^(-x)
(C1,C2是任意常数)。