求出并予证明：所有大于1的整数n，使(2^n+1)⼀n^2为整数.

默认你熟悉同余的语言和基本性质,
这样可以写得简单点.
假设你知道Fermat小定理:
若p是质数,
且不整除a,
则a^(p-1)
≡
1
(mod
p).
然后这类问题有个常用的引理:
若正整数a,
b,
x,
y满足a^x
≡
a^y
≡
1
(mod
b),
设d
=
(x,y)
(最大公约数),
则a^d
≡
1
(mod
b).
证明不难:
∵存在正整数u,
v使ux-vy
=
d,
∴a^(vy+d)
=
a^(ux)
≡
1
≡
a^(vy)
(mod
b).
而易见(a,b)
=
1,
提出与b互质的a^(vy),
即得a^d
≡
1
(mod
b).
再做一点准备工作,
证明2^(3^k)+1被3^(k+1)恰好整除
(即被3^(k+1)整除,
但不能被3^(k+2)整除).
k
=
0,
1时可验证成立,
然后由2^(3^(k+1))+1
=
(2^(3^k)+1)³-3·2^(3^k)·(2^(3^k)+1)归纳即得.
回到原题.
∵n是正整数,
∴2^n+1为奇数,
∴n也是奇数.
∵n
>
1,
可设n的最小质因数为p
>
2.
可得2^(p-1)
≡
1
(mod
p)
(Fermat小定理).
∵(2^n+1)/n²为整数,
∴2^n
≡
-1
(mod
p),
∴2^(2n)
≡
1
(mod
p).
而∵p是n的最小质因数,
∴(2n,p-1)
=
2,
由引理得2²
≡
1
(mod
p),
即p
=
3.
设n
=
3^k·m,
k
≥
1且3不整除m.
∵(2^n+1)/n²为整数,
∴2^n
≡
-1
(mod
3^(2k)),
∴2^(2n)
≡
1
(mod
3^(2k)).
又∵已证3^(2k)
|
2^(3^(2k-1))+1,
即2^(3^(2k-1))
≡
-1
(mod
3^(2k)),
∴2^(2·3^(2k-1))
≡
1
(mod
3^(2k)).
而∵k
≥
1,
∴(2n,
2·3^(2k-1))
=
2·3^k,
由引理得2^(2·3^k)
≡
1
(mod
3^(2k)).
2^(2·3^k)-1
=
(2^(3^k)-1)(2^(3^k)+1).
已证2^(3^k)+1被3^(k+1)恰好整除,
故2^(3^k)-1
=
(2^(3^k)+1)-2不被3整除.
∴2^(2·3^k)-1也被3^(k+1)恰好整除,
由3^(2k)
|
2^(2·3^k)-1,
只有k
=
1,
n
=
3m.
若m
=
1,
可验证(2^n+1)/n²为整数.
若m
>
1,
可设m的最小质因数为q
>
3.
可得2^(q-1)
≡
1
(mod
q)
(Fermat小定理).
∵(2^n+1)/n²为整数,
∴2^n
≡
-1
(mod
q),
∴2^(2n)
≡
1
(mod
q).
而∵n
=
3m,
q是m的最小质因数,
∴(2n,q-1)
=
2或6.
由引理得2^6
≡
1
(mod
q),
但q
>
3,
只有q
=
7.
但2^n
=
2^(3m)
=
8^m
≡
1
(mod
7),
与2^n
≡
-1
(mod
q)矛盾.
于是只有n
=
3满足要求.
证明也许绕了远路,
有疑问或改进意见欢迎追问.