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竞赛辅导提纲（一）——整数
一、 考纲要求
十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。
质数和合数。最大公约数与最小公倍数。
奇数和偶数，奇偶性分析。带余除法和利用余数分类。
完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。
二、 具体内容
（一） 整除性（如果a是b的倍数，则称a能被b整除，记为b│a）
1、 若a│b，b│c，则a│c；若b│a，则b│ka（其中k为任意整数）
2、 若a│b，a│c，则a│b±c；若a│m，b│m，则〔a，b〕│m
3、 若m│ab，且（m，a）=1，则若m│b
4、 p为质数，若p│ab，则p│a或p│b
5、 两个连续整数的乘积必定能被2整除；三个连续整数的乘积必定能被6整除；
推广：n个连续整数的乘积必定能被n!整除
6、 整除常用判定方法：（补充）
（1） 被9整除：各位数字之和是9的倍数；
（2） 被4（或25）整除：末两位数是4（或25）的倍数；
（3） 被8（或125）整除：末三位数是8（或125）的倍数；
（4） 被11整除：奇位数字的和与偶位数字的和的差是11的倍数。
（二） 质数与合数
1、2是最小的质数，且是唯一的偶质数（常用来做‘质合数分析’）
2、如果正整数a是合数，那么必有质因数p≤√a
（逆否命题：对于a≥1，如果小于或等于√a的所有质数均不能整除a，那么a是质数
——常用来验证一个整数是否为质数）
3、（唯一分解定理）任何大于1的合数，都可以分解成若干个质因数的幂的乘积的形式，且该分解形式是唯一的
（三）最大公约数（a，b）与最小公倍数[a，b]
1、方法：短除法、辗转相除法
2、若（a，b）=1，则称a、b互质
3、若（a，b）=1，则（a，bc）=（a，c）
4、约数个数定理
(四)奇数与偶数、奇偶性（奇数常表示为2k±1，偶数常表示为2k，其中k为整数）
1、两个连续整数必定一奇一偶，即n（n+1）一定是偶数
和 奇数 偶数
奇数 偶数 奇数
偶数 奇数 偶数
积 奇数 偶数
奇数 奇数 偶数
偶数 偶数 偶数
2、

3、若干个整数之和为奇数，则其中奇数的个数必定为奇数个；
若干个整数之积为偶数，则其中至少有一个偶数；
若干个整数之积为奇数，则所有因数必定都是奇数；
（五）完全平方数（可以写成另一个整数的平方的形式）
1、常用分析方法：假设完全平方数m=n2，然后利用因数分解进行分析
2、偶数的平方必是4的倍数，奇数的平方被8除余1
3、在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数
4、一些常用结论（规律）：
 个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
 个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
 个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
 形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
 形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
 形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；
 数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
三、 例题精选
例1（1986，全国初中数学联赛）设a、b、c是三个互不相等的正整数，求证：
a3b-ab3 b3c-bc3 c3a-ca3三数中至少有一个能被10整除。
分析：本题综合应用因式分解、奇偶性分析、整除性分析、分类讨论等知识。

例2（2005，全国初中数学联赛）对于一个自然数，如果能找到自然数a,b，使得n=a+b+ab，则称n为一个“好数”，在‘1-20’这20个自然数中，共有“好数” 个。
分析：本题主要考察因式分解，及质合数分析。

例3（2006，全国初中数学联赛）不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为
分析：本题主要考察整数的同余分类。

例4（2007，全国初中数学联赛）小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码，小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来的电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是
分析：本题主要考察整数的十进制表示法。

例5（2007，全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）设分数n-135n+6 ( n≠13)不是最简分数，那么正整数n的最小值可以是（ ）
A、84 B、68 C、45 D、115
分析：本题主要考察最简分数的意义、辗转相除法、整除性分析等。

例6（1989年，天津市“新蕾杯”初二数学竞赛）设三个整数a、b、c的最大公约数是1，且满足条件1a +1b =1c ，求证：（a+b）、（a-c）和（b-c）都是完全平方数。

例7（第2届“从小爱数学”赛题）图3-2是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.
（1）如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中？
（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点B，他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么B点是在岸上还是在水中？说明理由

例8（1980年，加拿大数学竞赛题）设72｜a679b, 试求a,b的值。

四、 巩固练习
1（2008年，第19届希望杯初一第二试）一个2000位整数的最高位数字是3，这个数中任意相邻的两个数位的数字可以看成一个两位数。这个两位数可被17整除，或被23整除。则这个整数的最后六个数位的数字分别是 或
2（1983年，福建数学竞赛）一个四位数是奇数，千位数字小于其余各位数字，百位数字大于其他各位数字，十位数字等于首末两位数字的和的两倍。则这个四位数是
3(1989年，全国初中数学联赛)在十进制中,各位数码是0或1,并且能被225整除的最小自然数是________.
4(1989年，第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛)甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙 元？
5（2010年，第15届华罗庚金杯少年数学邀请赛初一决赛）三个三位数abb，bab，bba，由数字a，b组成，他们的和是2331，则a+b的最大值是
6（2010年，第八届“走进数学的美妙花园”趣味数学技能展示初赛初二组）19个糖果盒排成一列，正中间的盒子放糖果a个。从这里向右，每一个盒子比前一个多m个糖果；从这里向左，每一个盒子比前一个多n个糖果（a,m,n都是正整数）。如果糖果的总数是2010个，那么a的所有可能数字之和是
7（2000年，第十二届“五羊杯”初中数学竞赛初二组) 设自然数x>y，x+y＝667，x，y的最小公倍数为P，最大公约数为Q，P＝120Q，则x-y的最大值为
8（2001，第十三届“五羊杯”初中数学竞赛初一组）右面的算式中每个汉字代表0，l，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么其中的“新”字代表( )．
(A)9 (B)8 (C)2 (D)1
9（2004年，第十六届“五羊杯”初中数学竞赛初三组）设p，q是任意两个大于100的质数，那么p2-1和q2-l的最大公约数的最小值是
10（2003年，第十五届“五羊杯”初中数学竞赛初三组）作自然数带余除法，有算式A÷B=C…27．如果B<100，且A-80B+21C+524=O，则A=( )
A．2003 B.3004 C．4005 D．4359
11（1998年，全国初中数学联赛）满足19982+ m2=19972+ n2 (012（2009年，第二十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第一试）用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复的三位数中，是9的倍数的数有（ ）
A．12个 B．18个 C．20个 D．30个