（1）解：函数f（x）=x2+a（x+lnx）的导数f′（x）=2x+a（1+），
f（1）=1+a，f′（1）=2+2a，
则函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为y-（1+a）=（2+2a）（x-1），
即y=（1+a）（2x-1）；
（2）解：①a=0时，f（x）=x2，因为x＞0，所以点（x，x2）在第一象限，
依题意，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0；
②a＞0时，由对数函数性质知，x∈（0，1）时，lnx∈（-∞，0），alnx∈（-∞，0），
从而“?x＞0，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0”不成立；
③a＜0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得＜?(+lnx)，
设g(x)＝?(+lnx)，g′（x）=+，
| x |
（0，1） |
1 |
（1，+∞） |
| g′（x） |
- |
0 |
+ |
| g（x） |
↘ |
极小值 |
↗ |
则g（x）≥g（1）=-1，从而
＜?(+lnx)＜?1，-1＜a＜0；
综上所述，常数a的取值范围-1＜a≤0．
（3）证明：直接计算知
＝e+1+a+，
设函数g（x）=f′（x）-
=2x-（e+1）+
-
，
g(1)＝1?e+a?＝，
g(e)＝e?1+?＝，
当a＞e（e-1）
2或
a＜时，
g(1)g(e)＝?
| [a(e?2)?(e?1)2][a?e(e?1)2] |
| e(e?1)2
|
＜0，
因为y=g（x）的图象是一条连续不断的
