求1984年高考数学题

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1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题
（这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分）
一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的 把正确结论的代号写在题后的圆括号内 每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分
1．数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k 1）π，k是整数}之间的关系是 （ C ）
（A）X Y （B）X Y （C）X=Y （D）X≠Y
2．如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（ C ）
（A）F=0，G≠0，E≠0. （B）E=0，F=0，G≠0. （C）G=0，F=0，E≠0. （D）G=0，E=0，F≠0.
3.如果n是正整数，那么 的值 （ B ）
（A）一定是零 （B）一定是偶数 （C）是整数但不一定是偶数 （D）不一定是整数
4. 大于 的充分条件是 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
5．如果θ是第二象限角，且满足 那么 （ B ）
（A）是第一象限角（B）是第三象限角（C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D）是第二象限角
二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分 只要求直接写出结果）
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：
2.函数 在什么区间上是增函数？ 答：x＜-2.
3．求方程 的解集 答：
4．求 的展开式中的常数项 答：-20
5．求 的值 答：0
1．
Y

1 0 1 X

6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：
2．

O 1 2 X

三．（本题满分12分）本题只要求画出图形
1．设 画出函数y=H(x-1)的图象
2．画出极坐标方程 的曲线
解：
四．（本题满分12分）
已知三个平面两两相交，有三条交线 求证这三条交线交于一点或互相平行
证：设三个平面为α，β，γ，且
P

b αβ

γ c

从而c与b或交于一点或互相平行
1．若c与b交于一点，设

∴所以 ,b,c交于一点（即P点）

b α β

γ c
2.若c‖b,则由 所以 ,b,c互相平行
五．（本题满分14分）
设c,d,x为实数，c≠0，x为未知数 讨论方程 在什么情况下有解 有解时求出它的解
解：原方程有解的充要条件是：

由条件（4）知 ，所以 再由c≠0，可得
又由 及x＞0，知 ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中
再由条件（3）及 ，知 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：

由条件（1）（6）知 这个不等式仅在以下两种情形下成立：
①c＞0,1-d＞0,即c＞0,d＜1;
②c＜0,1-d＜0,即c＜0,d＞1.
再由条件（1）（5）及（6）可知
从而，当c＞0,d＜1且 时，或者当c＜0,d＞1且 时，原方程有解，它的解是
六．（本题满分16分）
1．设 ，实系数一元二次方程 有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1，Z2 求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长 （7分）
2．求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为 的椭圆的左顶点的轨迹方程 （9分）
解：1.因为p,q为实数， ，z1,z2为虚数，所以
由z1,z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，
所以椭圆短轴在x轴上 又由椭圆经过原点，
可知原点为椭圆短轴的一端点
根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的
短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|,
焦距离=2c=|z1-z2|= ,
长轴长=2a=
2.因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴
设椭圆左顶点为A（x,y），因为椭圆的离心率为 ，
所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的 ，
从而左焦点F的坐标为
设d为点M到y轴的距离，则d=1
根据 及两点间距离公式，可得
这就是所求的轨迹方程
七．（本题满分15分）
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为 ,b,c，且c=10，
，P为△ABC的内切圆上的动点 求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值
解：由 ，运用正弦定理，有
因为A≠B，所以2A=π-2B，即A+B=
由此可知△ABC是直角三角形
由c=10，

Y
B（0，6）
D

E O’ P（x,y)
X
O C（0，0） A（8，0）
如图，设△ABC的内切圆圆心为O’，切点分别为D，E，F，则
AD+DB+EC= 但上式中AD+DB=c=10，
所以内切圆半径r=EC=2.
如图建立坐标系，
则内切圆方程为:
(x-2)2+(y-2)2=4
设圆上动点P的坐标为(x,y),则
因为P点在内切圆上，所以 ，
S最大值=88-0=88，
S最小值=88-16=72
解二：同解一，设内切圆的参数方程为
从而
因为 ，所以 S最大值=80+8=88，S最小值=80-8=72
八．（本题满分12分）
设 ＞2，给定数列{xn},其中x1= , 求证：
1．
2．
3．
1．证：先证明xn＞2(n=1,2,…）用数学归纳法
由条件 ＞2及x1= 知不等式当n=1时成立
假设不等式当n=k(k≥1)时成立
当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知
再由归纳假设知不等式 成立，所以不等式 也成立 从而不等式xn＞2对于所有的正整数n成立 (归纳法的第二步也可这样）证：

所以不等式xn>2(n=1,2,…）成立 ）
再证明 由条件及xn>2(n=1,2,…）知
因此不等式 也成立
（也可这样证：对所有正整数n有

还可这样证：对所有正整数n有
所以 ）
2．证一：用数学归纳法 由条件x1= ≤3知不等式当n=1时成立
假设不等式当n=k(k≥1)时成立
当n=k+1时，由条件及 知
再由 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式 也成立，从而不等式 对所有的正整数n成立
证二：用数学归纳法 证不等式当n=k+1时成立用以下证法：
由条件知 再由 及归纳假设可得
3．证：先证明若 这是因为
然后用反证法 若当 时，有 则由第1小题知
因此，由上面证明的结论及x1= 可得
即 ，这与假设矛盾 所以本小题的结论成立
九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）

M
O 1
D θ C

A P L
如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线L相切于点A，一动点P自切点A沿直线L向右移动时，取弧AC的长为 ，直线PC与直线AO交于点M 又知当AP= 时，点P的速度为V 求这时点M的速度
解：作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COD=θ 由假设，
AC的长为 ，
半径OC=1，可知θ
考虑
∵△APM∽△DCM，
而
（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）

幸好没考1+1=？

http://www.1000n.cn/tiku/200512/20051223095438421.doc