机智的小伙伴们，求教这道题的详细做法，多谢啦

平面向量的概念

主讲：李根

阅读提纲：
1）向量的定义 2）向量的表示方法

3）向量的有关概念
A、向量的模（向量的长度） B、零向量 C、单位向量

D、平行向量 E、相等向量 F、共线向量
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新课
一、向量的定义：
向量是既有大小，又有方向的量.

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二、向量的表示方法：
1）有向线段：
记作：AB
A（起点） B（终点）

注意字母的顺序是：起点在前，终点在后. 有向线段AB的长度：|AB| 有向线段的三要素：起点、方向、长度.
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2）向量的表示法：
①几何表示法：用有向线段表示向量 有向线段的方向表示向量的方向

y

B a

有向线段的长度表示向量的大小. 0 ②字母表示： Ⅰ、用有向线段的起点和终点的大写字母加箭 头表示，如 AB ? Ⅱ、手写时写成带箭头的小写字母，如：a Ⅲ、印刷时用黑体小写字母表示，如：a

A

x

3）向量的大小： 就是向量的长度（或称模） 用有向线段的长度表示， 如：|AB|
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4）向量与有向线段的区别： 由有向线段的三要素：“起点、方向、 长度”可知，有向线段的起点是确定的。 而由向量的定义可知，对于一个向量， 只要不改变它的大小和方向，是可以任 意平行移动的，与起点无关.

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三、有关定义：
问题1： 长度为0的向量应该叫做什么向量？ 如何表示？它有方向吗？它与实数0的 意义相同吗？ 答：应该叫做零向量,表示为 0.它方向是不 确定的,它与实数0的意义不同. 问题2： 长度等于1个单位长度的向量应该叫 做什么向量？ 答：应该叫做单位向量.
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问题3： 如图，这组方向相同或相反的非零 向量之间，存在着什么关系？ a 答：平行关系.

b

c

平行向量： 方向相同或相反的非零向量. 记作：a // b // c 因为零向量的方向不确定，所以规定零向量与 任一向量平行.
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例1:在梯形中找到平行向量.
D C

F

E B

A

AB、 、 是一组平行向量。 DC EF
练习
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问题4：

AB 与 BA 这两个向量的长度相等吗？

想 这两个向量平行吗？ 一 想 这两个向量相等吗？ ？
答：相等； 平行； 不相等.
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相等向量：长度相等且方向相同的向量。
若向量 a 与 b 相等，记作：a ＝ b。
规定：零向量与零向量相等。 注：两个向量相等与它们的位置无关。

问:单位向量是相等向量吗？它们大小相等吗？
答：不一定；相等。
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三、相关概念

??? ? ??? ? （）向量 AB大小称为向量的长度（也叫模），记为 AB 1

? （2）长度为0的向量叫零向量，记为0，它的方向是任意的。

（3）长度为 的向量叫单位向量。 1
思考：把所有单位向量的 起点集中于一点o，问它 们终点的轨迹是什么？
答：如图：轨迹是以o为圆 心，半径为1的圆。

o

我们知道：对于一个向量，只要不改 变它的大小和方向，是可以任意平行移动 的，与起点无关。这就是常说的：自由向 量。

任一组平行向量都可以移到同一直线上， 因此，平行向量也叫共线向量。
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例2：如图设o是正六边形ABCDEF的中心， OA、 OB 分别写出图中与向量 （1）相等的向量； （2）共线的向量
解：
（1）OA B

A

? CB ? DO

C

OB ? DC ? EO
D （2）

O
E

F

OA、 、 、 为一组共线向量， CB DO EF
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OB 、 、 、 为一组共线向量， DC EO AF

练习：已知D、E、F分别是 △ABC各边的终点， 分别写出图中与 相等的向量 和共线的向量。

答：

DE 、 、 EF FD
F

A E

与DE 相等的向量： BF 、 FA 与FD 相等的向量： AE

与EF 相等的向量： DB B 与DE 共线的向量： BF 、 FA 与FD 共线的向量： AE、 CE 与EF 共线的向量： DB、 DC
<

D

C

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回顾与总结
一、向量的定义 既有大小又有方向的量叫做向量 二、向量的表示

1.几何表示:用有向线段表示 2.用小写字母表示 注意:印刷体与手写的区别 3.用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示

（4）平行向量:方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量. 规定:零向量与任一向量平行。

平行向量也叫共线向量
（5）相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。

四、例题
例1：思考下列问题：

1、下列命题正确的是
（1）共线向量都相等 （2）单位向量都相等 （3）平行向量不一定是共线向量 （4）零向量与任一向量平行

练习:
1.下列说法正确的是 ( B ) A) 方向相同或相反的向量是平行向量. ? B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.

小结：

1.向量的概念: 2.向量的表示: 3.零向量: 长度为零的向量 长度为1个单位的向量 4.单位向量: 1.方向相同或相反的非零向量 5.平行向量: 2.零向量与任一向量平行 6.相等向量: 长度相等且方向相同的向量 7.共线向量: 平行向量就是共线向量

既有大小又有方向的量 1.有向线段 2.字母 3.有向线段起点和终点字母

例3：在4 ? 5达到方格中有一个向量AB,以图中 的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的

向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？

B
相等的有 7个

A

长度相等 的有15个

鬼知道

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