积分第二中值定理怎么证明？

2024-11-28 01:38:05

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回答1：

第二中值定理：设f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[a,b]上单调,
则存在ξ∈[a,b]，使得携裤
∫(a,b)
f(x)g(x)dx
=
g(a)∫模哪(a,ξ)
f(x)dx
+
g(b)∫(b,ξ)
f(x)dx
积分第一中值定理：若f(x)在[a,
b]上连续，则在[a,
b]上至少存在一点ξ，使
∫(a,b)
f(x)dx
=
f(ξ)(b
-
a)
设G(x)为f(x)的原函数。
由第一中值定理得
在[a,b]中存在e
使
∫(a,b)
f(x)g(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(e)g(a)-G(e)g(b)
而要证的部分（第二中值定理等式右边)
要证ξ存在
因为g(a)∫(a,ξ)
f(x)dx
+
g(b)∫(b,ξ)
f(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(ξ)g(a)-G(ξ)g(b)
故
因为存在e使∫(a,b)
f(x)g(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(e)g(a)-G(e)g(b)成立
只要ξ=e
即有第二中值定理等式成立
故ξ存在旦隐码

回答2：

只想说一点，在积分第一中值定理中，要求被积函数是连续的。你注意到这个了吗？