梅州市2010年初中毕业生学业考试
数 学 试 卷
说 明：本试卷共4页，23小题，满分120分。考试用时90分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、试室号、座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
5.本试卷不用装订,考完后统一交县招生办(中招办)封存。
参考公式：抛物线 的对称轴是直线 = ,顶点坐标是（ ， ）.
一、选择题：每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的.
1． 的相反数是
A. 2 B. 1 C. D.
2．图1所示几何体的正视图是
A B C D
3．图2是我市某一天内的气温变化图，根据图2,
下列说法中错误的是
A．这一天中最高气温是24℃
B．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃
C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高
D．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低
4．函数 的自变量 的取值范围是
A． B． C． D．
5．下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是
A．圆 B．正方形 C．矩形 D．正三角形
二、填空题：每小题3分，共24分．
6．如图3,在△ABC中, BC =6 ，E、F分别是AB、AC的中点,则EF =_______ .
7. 已知反比例函数 的图象经过点 ,则 ___________.
8. 分解因式： =____________.
9. 甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中的进球数分别为：9、9、11、7, 则这组数据的:①众数为_____________;②中位数为____________;③平均数为__________.
10. 为支援玉树灾区,我市党员捐款近600万元, 600万用科学记数法表示为__________.
11. 若 是一元二次方程 的两个根，则 的值等于__________.
12. 已知一个圆锥的母线长为2 ,它的侧面展开图恰好是一个半圆,则这个圆锥的侧面积等于_______ .(用含 的式子表示)
13. 平面内不过同一点的 条直线两两相交,它们的交点个数记作 ,并且规定 .那么:① _____;② _______;③ ______.( ≥2,用含 的代数式表示)
三、解答下列各题：本题有10小题，共81分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
14．本题满分7分．
如图4,Rt△ABC中,∠C =90°, ∠A =60°,AC =2.按以下步骤作图: ①以A为圆心,以小于AC长为半径画弧,分别交AC、AB于点E、D; ②分别以D、E为圆心,以大于 DE长为半径画弧,两弧相交于点P; ③连结AP交BC于点F.那么:
（1）AB的长等于__________;（直接填写答案）
（2）∠CAF =_________°. （直接填写答案）
15．本题满分7分．
计算： .
16.本题满分7分．
解方程： .
17.本题满分7分．
在平面直角坐标系中,点M的坐标为 .
(1)当 时,点M在坐标系的第___________象限; （直接填写答案）
(2)将点M向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时,求 的取值范围.
18．本题满分8分．
(1)如图5, PA,PB分别与圆O相切于点A,B.求证:PA=PB.
(2)如图6,过圆O外一点P的两条直线分别与圆O相交于点A、B和C、D.则当___________时,PB=PD.(不添加字母符号和辅助线， 不需证明，只需填上符合题意的一个条件)
19．本题满分8分．
如图7, 东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园, 矩形的一边用教学楼的外墙,其余三边用竹篱笆. 设矩形的宽为 ,面积为 .
(1) 求 与 的函数关系式,并求自变量 的取值范围;
(2) 生物园的面积能否达到210平方米?说明理由.
20．本题满分8分．
某校九年级有200名学生参加了全国初中数学联合竞赛的初赛，为了了解本次初赛的成绩情况，从中抽取了50名学生, 将他们的初赛成绩（得分为整数，满分为100分）分成五组：第一组49.5～59.5；第二组59.5～69.5；第三组69.5～79.5;第四组79.5～89.5；第五组89.5～100.5.统计后得到图8所示的频数分布直方图（部分）.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）第四组的频数为_________________.（直接填写答案）
（2）若将得分转化为等级，规定：得分低于59.5分评为“D”，59.5～69.5分评为“C”，69.5～89.5分评为“B”，89.5～100.5分评为“A”.那么这200名参加初赛的学生中，参赛成绩评为“D” 的学生约有________个. （直接填写答案）
（3）若将抽取出来的50名学生中成绩落在第四、第五组的学生组成一个培训小组，再从这个培训
小组中随机挑选2名学生参加决赛.用列表法或画树状图法求：挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分以上的概率.
21.本题满分8分．
东艺中学初三(1)班学生到雁鸣湖春游,有一项活动是划船.游船有两种,甲种船每条船最多只能坐4个人,乙种船每条船最多只能坐6个人.已知初三(1)班学生的人数是5的倍数,若仅租甲种船，则不少于12条；若仅租乙种船,则不多于9条.
(1)求初三(1)班学生的人数;
(2)如果甲种船的租金是每条船10元,乙种船的租金是每条船12元.应怎样租船,才能使每条船都坐满,且租金最少?说明理由.
22．本题满分10分．
如图9， 中，点P是边 上的一个动点，过P作直线MN‖BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证:PE=PF；
（2）当点P在边 上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？说明理由；
（3）若在AC边上存在点P,使四边形AECF是正方形,且 .求此时∠A的大小.
23．本题满分11分．
如图10，直角梯形OABC中，OC‖AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交 轴于E，D两点（D点在E点右方）.
（1）求点E,D 的坐标;
（2）求过B,C,D三点的抛物线的函数关系式；
(3)过B,C,D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.
梅州市2010年初中毕业生学业考试数学试卷
参考答案与评分意见
一、选择题：每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的.
1、 A； 2、A； 3、D； 4、B； 5 、D.
二、填空题：每小题3分，共24分．
6、3. 7、-1. 8、(a-1)(a+1). 9、①9(1分);②9(1分); ③9(1分). 10、 . 11、2. 12、2 . 13、①1(1分);②2(1分)；③ n－1（1分）.
三、解答下列各题：本题有10小题，共81分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
14．本题满分7分．
(1)4. …………………………………3分
(2)30. …………………………………7分
15．本题满分7分．
…………………………………4分
=1+2=3. …………………………………7分
16．本题满分7分．
解:由原方程得 …………………………………2分
…………………………………4分
…………………………………6分
…………………………………7分
(或直接求解)
17．本题满分7分．
(1)二. …………………………………2分
(2)依题意得,N( -2,2-2 ). …………………………………4分
点N在第三象限,则有
解得1< <2. …………………………………7分
18．本题满分8分．
(1)证明:连OA,OB.
∵PA,PB是圆O的切线,
∴OA⊥PA,OB⊥PB.…………………………2分
∵OA=OB,OP=OP. ……………………… 4分
∴Rt△OAP ≌Rt△OBP.
∴PA=PB. …………………………6分
(2) ∠OPA=∠OPC.(或PA=PC,或AB=CD,或圆心O到PB,PD的距离相等,或弧AB与弧CD相等) …………………………………8分
19．本题满分8分．
解:(1)依题意得,矩形的长为 . …………………………………1分
∴ …………………………………3分
又 …………………………………4分
(2)若能达到,则
即 …………………………………6分
所以生物园的面积不能达到210平方米. …………………………………8分
(可先求矩形面积的最大值,再比较得结论)
20．本题满分8分．
(1)2. …………………………………2分
(2)64. .…………………………………5分
(3) 解:由(1)及已知,培训小组有4人,其中得分90分以下的2人,记为A1,A2,得分90分以上的有2人,记为B1,B2.列表如下:
A1 A2 B1 B2
A1 A1, A2 A1, B1 A1, B2
A2 A2, A1 A2, B1 A2, B2
B1 B1, A1 B1, A2 B1, B2
B2 B2, A1 B2, A2 B2, B1
或画树状图:
…………………………………7分
由表中(或树状图)可以看出,从这个小组中挑选2人,共有12种结果,而有2人为90分以上的结果为2种, 所求概率为
. .…………………………………8分
21．本题满分8分．
(1)解:设该班有 人,依题意得
解得 …………………………………3分
又 是5的倍数,所以 =50.
即初三(1)班有50人. …………………………………4分
(2) 设租用甲船 条,乙船 条,则有
…………………………………5分
.……6分
所需租金: …………………………………7分
…………………………………7.5分
所以租用甲种船2条,乙种船7条时,每条船都坐满,且租金最少. ……………………8分
(2)解法二: 设租用甲船 条,乙船 条,则有
…………………………………5分
所需租金: …………………………………6分
因为租用甲船平均每人需2.5元, 租用乙船平均每人只需2元,所以租用甲船最少时,才能使租金最少.
当x=2时,y=7, 即租用甲种船2条,乙种船7条时,每条船都坐满,且租金最少. …8分
22．本题满分10分．
（1）证明: ∵EC平分∠BCA, ∴∠BCE=∠PCE.
∵ ，∴∠PEC=∠BCE.
∴∠PEC=∠PCE, ∴PE=PC. …………2分
同理可证PC=PF.
∴PE=PF. …………………………………3分
（2）四边形 不可能是菱形. …………………4分
若 为菱形，则 ，而由（1）可知 .…………………………………5分
因为在平面内过同一点 不可能有两条直线同垂直于一条直线,所以 不能成立,所以四边形 不可能是菱形. …………………6分
（3）当 为正方形时，P是AC的中点,且 ．
∵ ，∴ .
∴ 是以 为直角的直角三角形.………………………………… …8分
∵ ,在Rt△ABC中, .
∴∠A=30°. …………………………10分
23．本题满分11分．
解：（1）∵B(4,1),则A(4,0),设OD= ,得DA=4- . …………………………1分
因为D是以BC为直径的圆与 轴的交点,
∴∠CDB=90°,∴∠ODC+ ∠BDA=90°.
∵∠OCD+∠ODC=90°, ∴∠OCD= ∠BDA..
∴Rt△OCD∽Rt△ADB.
∴ .……………………………3分
,即
解得
可得E(1,0),D(3,0). …………………………4分
(2) ∵C(0,3),D(3,0),B(4,1).
设过此三点的抛物线为 则 .……………6分
解得 .
过B,C,D三点的抛物线的函数关系式为 . …………7分
（3）假设存在，分两种情况讨论：
①当∠BDQ=90°时，由(1)可知∠BDC=90°，且点 在抛物线上，故点 与点 重合，所求的点 为（0，3）; …………………………………8分
②当∠DBQ=90°时，过点B作平行于DC的直线BQ，假设直线BQ交抛物线于另一点Q.
∵D（3，0），C(0,3)， 直线DC为 . ………………………8.5分
∵BQ‖DC,故可设直线BQ为 .
将B(4,1)代入,得m=5.(或直线DC向上平移2个单位与直线BQ重合)
直线BQ为 . …………………………………9分
由 .得 .或 .
又点B(4,1), ∴Q(-1,6).
故该抛物线上存在两点(0,3),(-1,6)满足条件．…………………………………11分
试卷有些图弄不上来，需要的话可以把邮箱发给我，我把试卷给你
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