证明比例性质。

2025-03-06 14:35:15

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回答1：

教师应指出，将四条线段成比例转化成四条线段的长度成比例，它具有数的成比例的所有性质，本节先学习比例的基本性质对于线段的应用.
1.比例的基本性质的内容及推导.
（1）
内容：
（2）
特例：
（3）
说明：①引导学生根据等式的性质从正、反两方面进行证明.②教师强调,它的作用是将等积式与比例式互化,由于线段的长度都是正数,因此由一个等积式可得到八种比例式.
2.比例基本性质的应用.应用（1）
判断四条线段是否成比例：将已知四条线段按大小顺序排列，如a>b>c>d
，若最长（a）和最短（d）的两条线段长之积等于其余两条线段长（b,c）之积，则这四条线段a，b，c，d成比例.
例1
判断下列四条线段是否成比例.
①
a=2，b=,c=，d=；
②
a=，b=3,
c=2，d=；
③
a=4，b=6,
c=5，d=10；
④
a=12，b=8,
c=15，d=10.
说明：教师示范一个例子，其余请学生来巩固练习.
如第①题排序时，将a改写成，d改写成
ab＜b＜d＜c，而ac＝×；bd=×，ad=bd，
a，b，c，d四条线段成比例.
答案：②不成比例；③不成比例；④b，d
，a，c四条线段成比例.
应用（2）按要求将等积式改写成比例式.
教给学生等积式化比例式的方法.按照分类讨论的思想以及“内项积等于外项积”，同时可写出8个比例式，也可根据需要写出其中某一个比例式，要求学生熟练掌握这种比例变形.
例2已知：ad=bc.
（1）
将其改写成比例式；
（2）
写出所有以a，d为内项的比例式；
（3）
写出使b作为第四项比例项的比例式；
（4）若；写出以c作第四比例项的比例式；
分析：教给学生等积式化比例式的方法.
（1）分类讨论.认准等积式中的一条线段，它可以在比例的内项、外项共四个位置出现，以a为例：
(2)找出与a作乘积的项d，放在相应位置上
.
(3)写出其余两项，分别有两种情况，同时交换比例的内项或外项，共可得到八个比例式：
①②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
解(1)见分析(3)(2)
(4)可以先将比例式化为等积式ab=bc，转化为第(3)题再处理，也可以这样处理：①直接同时交换每个比的前项和后项，②交换比例的内项或外项.
应用(3)检查所作的比例变形是否正确，把比例式化为等积式，看与原式所得的等积式是否
桢即可.
如将变形为，由于各自可化为等积式ad=bc，ad=cd，它们不相等，因此所作的比例变形不正确.
四、应用举例、变式练习
例3
计算.
(1)已知：x∶y=5∶4，y∶z=3∶7.求x∶y∶z.
(2)已知：a，b，c为三角形三边长，(a-c)
∶(c+b)
∶(c-d)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.
分析：将比例式转化为方程(或方程组)来解决问题.
第(1)题可将已知分别看成含同一字母y的方程，表示出x=y，z=y，得x∶y∶z=∶1∶=15∶12∶28.或利用分数的基本性质，将两个比例式中y的对应项系数化成它们的最小公倍数，如x∶y=5∶4=15∶12，y∶z=3∶7=12∶28，得出x∶y∶z=15∶12∶28.
第(2)小题可将比例式改为两个等积式，结合周长得到关于a，b，c的三元一次方程组；
例4
在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m，同时，高为1.5m的测竿的影长为2.5m，那么，古塔的高是多么米?
分析：
(1)利用比例的知识测量不可直接到达的物体的高度，是比例的很重要的一个应用；
(2)“相同时刻的物高与影长成比例”的实际含义是指同一时刻，两物体的高与它们对应的影长的比相等；
(3)列出比例式，得到关于古塔高度的方程求解(古塔高为30m).
例5(选用)已知：如图5-5，，ab=10cm，ad=2cm，bc=7.2cm，e为bc中点.求ef，bf的长.(答：0.72cm，2.88cm)
分析：应着重培养学生的分析能力，分析图中哪些线段可知长度，并列出关于一个末知数的方程来解决问题.
练习
课本第204页第1，2题.
补充练习
如图5-6，ag·bc=de·ah.(1)
写出由以上等积式得到的八个比例式；(2)若de=12，bc=15，gh=3.求ah的长.(15)
五、师生共同小结
在学生尝试总结的基础上，教师强调：
1.比例线段的有关概念和注意事项.
2.比例的基本性质的内容.它是怎样证明的?有哪些应用?应用时有哪些需要注意的问题?
3.将比例式看成方程解决问题的观点.
六、作业
课本第207页第4题,第203页第1,2,3题.
1.成比例线段的顺序性课本虽然强调了，但学生体会不深，需要教师课堂举例让学生理解透彻,而且如何判断四条线段成比例，最好教给学生切实可行的措施.
2.比例的基本性质是后边证明三角形相似以及证明等积式、比例式经常用到的基础知识，教师应教给学生如何熟练利用性质进行比例变形，如何检查变形是否正确.例如根据需要化乘积式为比例式的方法，使学生能逐渐熟练巩固这些性质，为后边“相似三角形”的学习扫清障碍，打好基础.

回答2：

(1)基本性质
a/b=c/d 等式两边同乘bd
则ad=bc

ad=bc 等式两边同乘1/(bd)
则a/b=c/d

（2）合比性质
a/b=c/d,
两边同时加1，则a+b/b=c+d/d

（3）等比性质
如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a/b=c/d…=m/n

证明设a/b=c/d=…=m/n = k
则a = bk, c = dk,…m = nk
则(a+c+…+m)／(b+d+…+n) = (bk + dk +...+ nk)/(b+d+…+n) = k = a／b

最后祝你学业进步

回答3：

(1)如果a/b=c/d 在等式两边同时乘上bd (≠0) 即得ad=bc
如果ad=bc 在等式两边同时乘上1/bd(≠0) 即得a/b=c/d

（2）如果a/b=c/d 那么在等式两边同时加上1，并通分即得(a+b)/b=(c+d)/d

(3)指什么？？？

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