设三维无限深势阱宽度分别为a、b、c，在非相对论条件下p^2=2mE。在p空间内构造一个球体，半径则为2mE。在半径p到p+dp的球壳中量子态数目为D(p)*dv，其中D(p)为p空间内态密度，其值为D(p)=(abc/2*pi*hbar)^3，hbar=h/(2*pi)。D(p)的推导见固体物理第一章。dv为球壳的体积，显然dv=S*dp，S=4*pi*p^ 2为半径为p时球体的表面积，dp则是球壳的厚度。所以球壳内的量子态数为dN=(abc/2*pi*hbar)^3 * 4*pi*p^ 2 * dp，把p=根号下2mE代入即可求得dN与dE的关系，单位能量范围中的量子态数即为能态密度dN/dE。对于二维和一维的情况降维处理即可，二维时候构造圆，一维构造线段。
首先得先知道坐标怎么定的，从波函数的对称性考虑，势阱应该是x=0到a处
先求归一化常数A
积分（0到a）|Ψ(x)|^2 dx=积分（0到a）A^2 x^2(a-x)^2 dx=A^2*a^5/30==1
A^2=30/a^5
算出|Ψ(x)|^2 就是概率密度，阱外都是0
H是哈密顿算符，这里就是 -h^2/(2*pi)^2/2m d^2/dx^2
=5h^2/(2 pi)^2/m/a^2
Ψ*(x) 指共轭函数，在这里就是本身。基本概念要知道，对归一化波函数|Ψ(x)|^2 就是概率密度。
力学量的平均值
非相对论极限下，E=p²/2m，所以直角坐标j分量上，dpj=(\pi\hbar/L)dnj,dN=dn1dn2dn3=(L/\pi\hbar)³dp1dp2dp3。然后转化成球极坐标，然后把p转化成E，对角参数积分就行。1D2D情况同理降维即可。
内容全部来源于网络收集，如有侵权，请联系网站删除：QQ：24596024