幂等矩阵的幂等矩阵性质

幂等矩阵的主要性质：

1、幂等矩阵的特征值只可能是0，1。

2、幂等矩阵可对角化。

3、幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)。

4、可逆的幂等矩阵为E。

5、方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。

6、幂等矩阵A满足：A(E-A)=(E-A)A=0。

7、幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)。

扩展资料：

A是n阶实对称幂等矩阵，故A的特征值只能是0和1。所以存在正交矩阵Q，使得(Q-1)AQ=diag。

设特征值1是r重，0是n-r重，则矩阵A-2I有r重特征值1-2=-1，n-r重特征值0-2=-2；所以det(A-2I)=(-1)^n*2^(n-r)。

参考资料来源：百度百科—幂等矩阵

幂等矩阵的主要性质：
1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；
2.幂等矩阵可对角化；
3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr（A）=rank（A）；
4.可逆的幂等矩阵为E；
5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；
6.幂等矩阵A满足：A（E-A)=（E-A）A=0；
7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R（A）；
8.A的核N（A）等于（E-A）的列空间R（E-A）,且N（E-A）=R（A）。　考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：
1）设 A1，A2都是幂等矩阵，则(A1+A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1 = 0，
且有：R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2)；N(A1+A2) =N (A1)∩N(A2)；
2）设 A1， A2都是幂等矩阵，则(A1-A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1=A2
且有：R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2 )；N (A1 - A2 ) =N (A1 )⊕R (A2 )；
3）设 A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2 =A2·A1，则A1·A2 为幂等矩阵，且有：R (A1·A2 ) =R (A1 ) ∩R (A2 )；N (A
1·A2 ) =N (A1 ) +N (A2 )。