隐函数的二阶导数怎么解？

隐函数是二元二次隐函数，举例说明x^2+4y^2=4.

对方程两边同时求导得到：

2x+8yy'=0

y'=-x/4y

对y'再次求导得到：

y''=-(4y-x*4y')/(4y)^2

=4(xy'-y)/16y^2

=(xy'-y)/4y^2

=[(-x^2/4y)-y)]/4y^2 (此步骤是代入y'的结果.）

=-(x^2+4y^2)/16y^3 （此步骤是代入方程x^2+4y^2=4.）

=-4/16y^3

=-1/4y^3

所以：d^2y/dx^2=-1/4y^3

二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数，则y’=f‘（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。在图形上，它主要表现函数的凹凸性。

如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。F(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。 

扩展资料：

如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。 

几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有 y' 的一个方程，然后化简得到 y' 的表达式。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；

方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；

方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；

方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

参考资料：百度百科——二阶导数

参考资料：百度百科——隐函数

本题所给的隐函数是二元二次隐函数，x^2+4y^2=4.
对方程两边同时求导得到：
2x+8yy'=0

y'=-x/4y
对y'再次求导得到：
y''=-(4y-x*4y')/(4y)^2
=4(xy'-y)/16y^2
=(xy'-y)/4y^2
=[(-x^2/4y)-y)]/4y^2 (此步骤是代入y'的结果.）
=-(x^2+4y^2)/16y^3 （此步骤是代入方程x^2+4y^2=4.）
=-4/16y^3
=-1/4y^3.
所以：d^2y/dx^2=-1/4y^3.

恰巧答主在最近的测试中遇到了相似的问题. 为了便于理解，答主将试题原答案稍作了修改.

题目及答案，使用 MathType 3.0 编辑

若要真正求出二阶导函数，需将 y' 从式子 1 分离出来，将其和 y 关于 x 的表达式代入到式子 2 中. 由于本题函数较为复杂，答主在此省略该步.