证明:
b可由向量a1,a2,...,as线性表示
方程组 (a1,a2,...,as)x=b 有解
所以 r(a1,a2,...,as)=r(a1,a2,...,as,b)
（注: 将线性表示与方程组的解结合起来是常用手段）
又 a1,a2,...,as线性无关
r(a1,a2,...,as)=s
r(a1,a2,...,as)=r(a1,a2,...,as,b)=s
方程组 (a1,a2,...,as)x=b 有唯一解
b可由向量a1,a2,...,as线性表示, 且表示法唯一
在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。
实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ|*|a|。
当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当 |λ| >1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的|λ|倍
当|λ|<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上缩短为原来的 |λ|倍。
b可由向量a1,a2,...,as线性表示
方程组
(a1,a2,...,as)x=b
有解
充分性：因为a1,a2,...,as线性无关
所以
|a1,a2,...,as|不等于0
故方程组唯一解，即唯一表出
必要性：因为表示法唯一
所以方程组唯一解
所以
|a1,a2,...,as|不等于0
故a1,a2,...,as线性无关
证明:
b可由向量a1,a2,...,as线性表示
<=>
方程组
(a1,a2,...,as)x=b
有解
所以
r(a1,a2,...,as)=r(a1,a2,...,as,b)
（注:
将线性表示与方程组的解结合起来是常用手段）
又
a1,a2,...,as线性无关
<=>
r(a1,a2,...,as)=s
<=>
r(a1,a2,...,as)=r(a1,a2,...,as,b)=s
<=>
方程组
(a1,a2,...,as)x=b
有唯一解
<=>
b可由向量a1,a2,...,as线性表示,
且表示法唯一
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