已知圆外一点，求过该点与圆的切线方程

举例说明：

已知圆方程：x²+y²=4, 过点P（3,4）作圆切线，求切线方程：

设直线y-4=k（x-3）与圆相切，

x²+（kx-3k+4）²=1

x²+k²x²+9k²+16-6k²x+8kx-24k-1=0

（k²+1）x²-（6k²-8k）x+(9k²-24k+15)=0

Δ=(6k²-8k)²-4(k²+1)(9k²-24k+15)=0

8k²-24k+15=0

k₁=(6+√6)/4 L₁: y=(6+√6)/4(x-3)+4

k₂=（6-√6）/4， L₂ ：y=（6-√6）/4（x-3）+4

平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．这种定义不适用于一般的曲线；PT是曲线C在点P的切线，但它和曲线C还有另外一个交点；相反，直线l尽管和曲线C只有一个交点，但它却不是曲线C的切线。

扩展资料：

经过圆心垂直于切线的直线必过切点；经过切点垂直于切线的直线必过圆心；从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线。

角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线，它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可，比如下图中，均不是弦切角。

弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角，正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质。

解题策略：（1）求圆的切线方程的解题方向为：①设出切线的斜率，用判别式法（斜率不存在时要单独考虑）；②设出切线的斜率，用圆心到切线的距离等于半径（斜率不存在时要单独考虑）；③有时也可利用几何性质通过特殊三角形使切线的斜率获解。

（2）求圆的切点弦所在直线方程时，可通过构造辅助圆，将圆的切点所在直线方程问题转化为两圆公共弦所在直线方程问题，而求两圆公共弦所在直线方程时，只需将两圆方程的二次项系数化成相同，直接做差可得公共弦所在直线方程。

已知圆外一点，求过该点的切线方程需要以下步骤：

• 求出该点与圆心的连线所在直线的斜率。

• 求出圆的切线的斜率。

• 根据点斜式方程求出切线方程。

具体实现步骤如下：

• 设圆心坐标为 (a, b)，已知圆外一点坐标为 (x0, y0)。

• 根据点与圆心的连线所在直线的斜率公式，计算出该点与圆心的连线所在直线的斜率 k1：

k1 = (y0 - b) / (x0 - a)

• 根据圆的切线的斜率公式，计算出圆的切线的斜率 k2：

k2 = -1 / k1

• 根据点斜式方程，求出切线方程：

y - y0 = k2 (x - x0)

其中，y 和 x 是切线上任意一点的坐标，y0 和 x0 是已知点的坐标。

注意：如果有多条切线，需要分别求解。

求过一个圆外点与圆的切线方程，可以使用以下方法：
1. 确定圆的标准方程和圆外点的坐标。
2. 计算圆心到该圆外点的距离，并将其记为 r，表示圆的半径。
3. 计算圆心到该圆外点连线与圆的切点处的切线斜率。切线斜率等于圆的半径与圆心与圆外点连线的斜率的相反数。
4. 利用圆外点的坐标和切线斜率，应用点斜式或斜截式等方法，得到切线方程。
具体步骤如下：
1. 假设圆的标准方程为 (x - h)² + (y - k)² = r²，其中 (h, k) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。已知圆外点的坐标为 (x₁, y₁)。
2. 计算圆心到圆外点的距离 d，可以使用距离公式：d = √((x₁ - h)² + (y₁ - k)²)。
3. 计算切线斜率 m，根据定义，切线斜率等于圆外点与圆心连线的斜率的相反数。使用两点斜率公式进行计算：m = -(y₁ - k)/(x₁ - h)。
4. 根据圆外点的坐标 (x₁, y₁) 和切线斜率 m，可得到切线方程。如果使用点斜式，切线方程为：y - y₁ = m(x - x₁)；如果使用斜截式，切线方程为：y = mx + (y₁ - m*x₁)。
通过以上步骤，可以求得过给定圆外点与圆的切线方程。

设圆的方程是(x+a)^2+(y+a)^2=r^2
在设以知点是（m,n）,切点是（t,s）,作图可得：
(t-a)^2+(s-b)^2=r^2
根号[(m-a)^2+(n-b)^2]-根号[(m-t)^2+(n-s)^2]=r
两个方程，而且只有t,s两个未知量，可求出t,s
因为圆的切线方程过（m,n）,（t,s）,
所以，可求得圆的切线方程（两点式）．
可推导出公式．