arctanx和x为什么是等价无穷小

X→0时，arctanx～X

令arctanx＝y，x＝tany，x趋于0时，y趋于0，因此 lim arctanx/x＝lim y/tany＝lim ycosy/siny =lim cosy/(siny/y)＝1。即arctanx～x。

无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数、序列等形式出现。无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。

确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

扩展资料

相关性质：

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3、无穷小量与自变量的趋势相关。

4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

7、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

8、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

X→0时，arctanx～X。

令arctanx＝y，x＝tany，x趋于0时，y趋于0，因此 lim arctanx/x＝lim y/tany＝lim ycosy/siny =lim cosy/(siny/y)＝1。即arctanx～x。

等价无穷小在求极限时有重要应用，定理如下：

设在x的某一变化过程中，α和β都是无穷小，且α~α‘，β~β’， 存在（或为正无穷）。

则：lim a/b=lim a'/b'

等价无穷小是无穷小的一种。在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。等价无穷小也是同阶无穷小。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

（1）被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

（2）被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

扩展资料：

当x→0时，等价无穷小：

（1）sinx~x 

（2）tanx~x 

（3）arcsinx~x 

（4）arctanx~x 

（5）1-cosx~1/2x^2 

（6）a^x-1~xlna 

（7）e^x-1~x 

（8）ln(1+x)~x 

（9）(1+Bx)^a-1~aBx 

（10）[(1+x)^1/n]-1~1/nx 

（11）loga(1+x)~x/lna

无穷小的性质：

（1）无穷小量不是一个数，它是一个变量。

（2）零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

（3）无穷小量与自变量的趋势相关。

（4）有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

（5）有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

（6）有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

（7）恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

X→0时，arctanx～X

令arctanx＝y，x＝tany，x趋于0时，y趋于0，因此 lim arctanx/x＝lim y/tany＝lim ycosy/siny =lim cosy/(siny/y)＝1。即arctanx～x。

扩展资料：

使用等价无穷小的条件  ：

①被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

②被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

无穷小的比较方法：

设α、β是某一极限过程中的两个无穷小，若 limβ/α=c（c为常数） 则（1）当c ≠ 0时，称在此极限过程中β与α是同阶无穷小；

（2）当c = 0时，称在此极限过程中β是α的高阶无穷小，记作β=o(α)；   

（3）当c = 1时，称在此极限过程中β与α是等价无穷小，记作β～α。

参考资料来源：百度百科-  等价无穷小

当x趋向于0的时候，limarctanx/x=lim0>1/(1+x²)=1，根据等价无穷小的定义，因此，当x趋向于0的时候，arctanx与x是等价无穷小，有疑问请追问，满意请采纳~\(≧▽≦)/~

X→0时，arctanx～X
令arctanx＝y，x＝tany，x趋于0时，y趋于0，因此 lim arctanx/x＝lim y/tany＝lim ycosy/siny =lim cosy/(siny/y)＝1。即arctanx～x
等价无穷小在求极限时有重要应用，定理如下：
设在x的某一变化过程中，α和β都是无穷小，且α~α‘，β~β’， 存在（或为正无穷），
则：lim a/b=lim a'/b'