根号2是怎么得出来的？具体过程是什么？

我可以提供三种方法：
二分法：不断的从一半开始取数，比较大小，大则舍弃，小则继续，这样虽慢，但可不断下去，且理解容易
任图法：类似于做一个二次函数的图像曲线，进行比较
公式法：开方公式1
对于给定正数 应用牛顿迭代法解二次方程
可导出求开方值 的计算公式
设 是 的某个近似值,则 自然也是一个近似值,上
式表明,它们两者的算术平均值将是更好的近似值.
定理 开方公式对于任意给定的初值 均为平方收敛.

开方公式2
作业
P.153
证明第4题中的收敛为平方收敛.
牛顿下山法
一般地说,牛顿法的收敛性依赖于初值 的选取,如果
偏离 较远,则牛顿法可能发散.
为了防止发散,通常对迭代过程再附加一项要求,即保证函数
值单调下降:

满足这项要求的算法称为下山法.
牛顿下山法采用以下迭代公式:
其中 称为下山因子.
弦截法1
用差商 替代牛顿公式中的导数可得到以下离散化
形式:

从几何图形上看,上面的公式求得的实际上是弦线与 轴的交
点,因此称这种方法为弦截法.

具体的算法，你可以参考这个地址：
http://cache.baidu.com/c?word=%C5%A3%B6%D9%3B%B5%FC%3B%B4%FA%3B%B7%A8&url=http%3A//jw%2Ecau%2Eedu%2Ecn/down%5Ffile/jiaoan/8563%2EPPT&b=0&a=42&user=baidu

用数轴证明:
在数轴上取线段OB到原点距离为1的单位,用圆规做线段OA垂直于原点,且OB=OA,连接这两条线段的端点AB,由勾股定理得:线段AB=根号(AO^+BO^)=根号(1^+1^)=根号2
A
│
————│————→
O B

建立直角坐标系，各取x,y轴上单位为1的点，连接
这两点，其线段的长为更号2

直角等腰底边为1的三角形的斜边长度。呵呵

根号2 就是4