一维实序列的快速傅里叶变换（FFT）

2025-02-24 20:57:47

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回答1：

通过前面的分析，我们认识到傅里叶变换本身是复数运算，地球物理获取的数据大多数是实数，对于实数的变换原则上可直接套用复序列的FFT算法，但那样是把实数序列当作虚部为零的复数对待，显然需要存储虚部的零并进行无功的运算，既浪费了一倍的计算内存，又降低了约一半的运算速度。

为了不浪费不可不设的虚部内存和必然出现的复数运算，可否将一个实序列分为两个子实序列，分别作为实部与虚部构成一个复数序列，然后用复序列的FFT算法求其频谱，对合成的复序列频谱进行分离和加工得到原实序列的频谱呢？答案是肯定的，实现这一过程思路就是实序列FFT算法的基本思想。

1.实序列的傅里叶变换性质

对于一个N个样本的实序列x（k），其频谱为X（j），用X_r（j）和X_i（j）表示X（j）的实部和虚部，表示X（j）的共轭，则

证明：已知则

地球物理数据处理基础

上式两端取共轭，并注意到x（k）是实序列，则

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这就是实序列的傅里叶变换具有复共轭性。

其同样具有周期性，即

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2.一维实序列的FFT算法

（1）同时计算两个实序列的FFT算法

已知两个实序列h（k），g（k）（k＝0，1，…，N－1），例如重磁异常平面数据中的两条剖面，或地震勘探中的两道地震记录，可以人为地构成一个复序列：

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设h（k）的频谱为H（j）＝H_r（j）＋iH_i（j）

g（k）的频谱为G（j）＝G_r（j）＋iG_i（j）

y（k）的频谱为Y（j）＝Y_r（j）＋i Y_i（j）

利用上节的复序列FFT算法，求得Y（j），即Y_r（j）和Y_i（j）已知，来寻找H_r（j），H_i（j），G_r（j），G_i（j）与Y_r（j），Y_i（j）之间的关系。

对式（8－22）作傅里叶变换：

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由于H（j），G（j）本身是复序列，所以不能仅从上式分离出H（j）和G（j）。应用Y（j）的周期性，容易得到

Y（N－j）＝H（－j）＋iG（－j）

上式取共轭：

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由于h（k），g（k）为实序列，对上式右端应用复共轭定理，得

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对式（8－23）展开，得

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对式（8－24）展开，并应用共轭关系，得

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把式（8－25）和式（8－26）与Y（j）＝Y_r（j）＋iY_i（j）进行对比，有

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整理得

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因此，对于两个实序列，通过构造一个复序列，应用复序列的FFT算法和式（8－28）的分离加工，即可得到两个实序列的频谱。

（2）计算2 N个数据点的实序列FFT算法

设有2N点的实序列u（k）（k＝0，1，…，2N－1），首先按k的偶、奇分成两个子实序列，并构成复序列，即

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通过调用复序列FFT算法，求得y（k）的频谱为Y（j）。另记h（k），g（k）的频谱为H（j）和G（j）。

利用前面式（8－23）和式（8－24），容易求得

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下面分析用H（j），G（j）形成u（k）频谱的问题。记u（k）（k＝0，1，…，2 N－1）的频谱为V（j），分析V（j），H（j），G（j）之间的关系，根据定义

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利用式（8－31）和式（8－34）可换算出u（k）的前N个频谱V（j）（j＝0，1，…，N－1），还要设法求u（k）的后N个频谱V（N＋j）（j＝0，1，…，N－1）。利用实序列其频谱的复共轭和周期性：

（1）H（N）＝H（0），G（N）＝G（0），W^N₁＝－1，得

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（2）由于u（k）（k＝0，1，…，2N－1）是实序列，同样利用实序列其频谱的复共轭和周期性，用已求出的前N个频谱V（j）表示出后面的N－1个频谱V（N＋j）：

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由于0<2N－j

总结以上叙述，一维实序列u（k）（k＝0，1，…，2N－1）的FFT计算编程步骤如下：

（1）按偶、奇拆分实序列u（k），并构造复序列：

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（2）调用复序列的FFT计算y（k）的频谱Y（j）（j＝0，1，…，N－1）；

（3）用下式计算形成h（k），g（k）的频谱H（j）和G（j）；

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（4）用下式换算实序列u（k）的频谱V（j）（j＝0，1，…，2 N－1）：

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［例3］求实序列样本u（k）＝｛1，2，1，1，3，2，1，2｝（k＝0，1，…，7）的频谱。

解：按偶、奇拆分实序列u（k），按式（8－37）构造复序列c（j）（j＝0，1，2，3），即

c（0）＝1＋2i； c（1）＝1＋i； c（2）＝3＋2i； c（3）＝1＋2i。

（1）调用复序列FFT求c（j）（j＝0，1，2，3）的频谱Z（k）（k＝0，1，2，3），得

Z（0）＝6＋7i； Z（1）＝－3； Z（2）＝2＋i； Z（3）＝－1。

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（3）运用公式（8－38）计算H（j），G（j）：

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（4）根据式（8－39）求出u（k）（k＝0，1，…，7）的8个频谱V（j）（j＝0，1，…，7）：

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由上例可见，完成全部2 N个实序列频谱的计算只需做N次FFT计算，相比直接用复序列的FFT算法节省了约一半的计算量。

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