先证明一个引理:【若f(x)=g(x)h(x),其中f(x)为整系数多项式,g(x)为本原多项式,h(x)为有理系数多项式,则h(x)也必为整系数多项式】假设h(x)不是整系数多项式,则必存在“大于1”的整数m,使得mh(x)为本原多项式,而两个本原多项式的乘积还是本原多项式,因此g(x)(mh(x))=mf(x)是本原多项式,而f(x)已经是整系数多项式从而mf(x)必定不是本原多项式(系数至少有公因子m),矛盾。
下面证明原命题:(先在Q上考虑)令a=√2+1,则由于a不属于Q所以deg(min(a,Q))>=2(min(a,F)表示a在域F上的首系为1的极小多项式),注意到a^2=2+2√2+1=2a+1,所以x^2-2x-1是a在Q上的一个极小多项式,则对于任意一个a在Q[x]上的零化多项式q(x),必有x^2-2x-1|q(x),从而对于{q(x)}中的整系数多项式f(x),必存在h(x)属于Q[x],使得f(x)=(x^2-2x-1)h(x),注意到x^2-2x-1(=(x-(1+√2))(x-(1-√2)))为本原多项式,因此利用引理可得h(x)必为整系数多项式,所以任意的整系数多项式f(x),若f(x)是a的零化多项式则必有x^2-2x-1|f(x),从而1-√2也是f(x)的根
由此我们可以推出一个更广泛的结论:对于任意一个Q上的代数元a(即存在q(x)属于Q[x]使得q(a)=0),min(a,Q)在C上的所有根均是以a为根的整系数多项式f(x)的根