关于数学的趣味问题！

孙子巧解“鸡兔同笼”

大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？同学们，你会解答这个问题吗？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的？
原来孙子提出了大胆的设想。他假设砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，而每只兔就变成了“双脚兔”。这样，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚就由94只变成了47只；而每只“鸡”的头数与脚数之比变为1：1，每只“兔”的头数与脚数之比变为1：2。由此可知，有一只“双脚兔”，脚的数量就会比头的数量多1。所以，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差，就是兔子的只数，即：47－35=12（只）；鸡的数量就是：35－12=23（只）。
当然，这道题还可以用方程来解答。我们可以先设兔的只数（也就是头数）是x,因为“鸡头+兔头=35”，所以“鸡头=35-x”。由此可知，有x只兔，应该有4x只兔脚，而鸡的只数是（35－x）,所以应该有2×（35－x）只鸡脚。现在已知鸡兔的脚总共是94只，因此，我们可以列出下面的关系式：
4x+2×(35－x)=94
x=12
于是可以算出鸡的只数是35-12=23。
还有一道这样的题：“100个和尚吃100个馒头。大和尚一人吃3个，小和尚3人吃一个。求大、小和尚各多少个？”它的答案是大和尚有25个，小和尚有75个。算法一样的

话孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟.

一天鬼出了这道题目：他从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞；
庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。
孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。
庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。

解答一：孙庞猜数的手算推理解法:
1)按照庞的第一句话的后半部分，我们肯定庞知道的和S肯定不会大于54。
因为如果和54＜S＜54+99，那么S可以写为S=53+a，a＜=99。如果鬼谷子选的两个数字恰好是53和a，那么孙知道的积M就是M=53× a，于是孙知道，这原来两个数中至少有一个含有53这个因子，因为53是个素数。可是小于100，又有53这个因子的，只能是 53本身，所以孙就可以只凭这个积53×a推断出这两个数术53和a。所以如果庞知道的 S大于54的话，他就不敢排除两个数是53和a这种可能，也就不敢贸然说“但是我肯定你也不知道这两个数是什么”这种话。
如果53+99＜S＜=97+99，那么S可以写为S=97+a，同以上推理，也不可能。
如果S=98+99，那么庞可以立刻判断出，这两个数只能是98和99，而且M只能是98×99，
孙也可以知道这两个术，所以显然不可能。
2)按照庞的第一句话的后半部分，我们还可以肯定庞知道的和S不可以表示为两个素数的和。
否则的话，如果鬼谷子选的两个数字恰好就是这两个素数，那么孙知道积M后，就可以得到唯一的素因子分解，判断出结果。于是庞还是不敢说“但是我肯定你也不知道这两个数是什么”这种话。
根据哥德巴赫猜想，任何大于4的偶数都可以表示为两个素数之和，对54以下的偶数，猜想肯定被验证过，所以S一定不能是偶数。
另外型为S=2+p的奇数，其中p是奇素数的那些S也同样要排除掉。
还有S=51也要排除掉，因为51=17+2×17。如果鬼谷子选的是(17,2×17)，那么孙知道的将是M=2×17×17，他对鬼谷子原来的两数的猜想只能是(17,2×17)。（为什么51要单独拿出来，要看下面的推理）
3)于是我们得到S必须在以下数中：
11 17 23 27 29 35 37 41 47 53

另外一方面，只要庞的S在上面这些数中，他就可以说“但是我肯定你也不知道这两个数是什么”，因为这些数无论怎么拆成两数和，都至少有一个数是合数（必是一偶一奇，如果偶的那个大于2，它就是合数，如果偶的那个等于2，我们上面的步骤已经保证奇的那个是合数），也就是S只能拆成a) S=2+a×b 或 b) S=a+2^n×b这两个样子，其中a和b都是奇数，n>=1。那么（下面我说的“至少两组数”中的两组数都不相同，而且的确存在（也就是那些数都小于100）的理由我就不写了，根据条件很显然）
a)或者孙的M=2×a×b，孙就会在(2×a,b)和(2,a×b)至少两组数里拿不定主意（a和b都是奇数，所以这两组数一定不同）；
b)或者M=2^n×a×b，
如果n>1，那么孙就会在(2^(n-1)×a,2×b)和(2^n×a,b)至少两组数里拿不定主意；
如果n=1，而且a不等于b，那么孙就会在(2×a,b)和(2b,a)至少两组数里拿不定主 意；
如果n=1，而且a等于b，这意味着S=a+2×a=3a，所以S一定是3的倍数，我们只要
讨论S=27就可以了。27如果被拆成了S=9+18，那么孙拿到的M=9×18，他就会在
(9，18)和(27,6)至少两组数里拿不定主意。
（上面对51的讨论就是从这最后一种情况的讨论发现的，我不知道上面的论证是否
过分烦琐了，但是看看51这个“特例”，我怀疑严格的论证可能就得这么烦） 现在我们知道，当且仅当庞得到的和数S在 C={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53} 中，他才会说出“我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么”这句话 孙膑可以和我们得到同样的结论，他还比我们多知道那个M。
4)孙的话“我现在能够确定这两个数字了”表明，他把M分解成素因子后，然后组合成关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想中，有且仅有一个猜想的和在C中。否则的话，他还是会在多个猜想之间拿不定主意。
庞涓听了孙的话也可以得到和我们一样的结论，他还比我们多知道那个S。
5)庞的话“我现在也知道这两个数字是什么了”表明，他把S拆成两数和后，也得到了关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想，但是在所有这些拆法中，只有一种满足4)里的条件，否则他不会知道究竟是哪种情况，使得孙膑推断出那两个数来。
于是我们可以排除掉C中那些可以用两种方法表示为S=2^n+p的S，其中n＞1，p为素数。因为如果S=2^n1+p1=2^n2+p2，无论是 (2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这两种情况，孙膑都可以由M=2^n1×p1或M=2^n2×p2来断定出正确的结果，因为由M得到的各种两数组合，只有 (2^n,p)这样的组合，两数和才是奇数，从而在C中，于是孙膑就可以宣布自己知道了是怎么回事，可庞涓却还得为(2^n1,p1)还是(2^n2, p2)这 两种情况犯愁。
因为11=4+7=8+3，23=4+19=16+7，27=4+23=16+11，35=4+31=16+19，37=8+29=32+5，47=4+43=16+31。于是S的可能值只能在17 29 41 53中。让我们继续缩小这个表。
29不可能，因为29=2+27=4+25。无论是(2,27)和(4,25)，孙膑都可以正确判断出来：
a)如果是(2,27)，M=2×27=2×3×3×3，那么孙可以猜的组合是(2,27)(3,18)(6,9)，
后面两种对应的S为21和15，都不在C中，故不可能，于是只能是(2,27)。
b)如果是(4,25)，M=4×25=2×2×5×5，那么孙可以猜的组合是(2,50)(4,25)(5,20) (10,10)。只有(4,25)的S才在C中。
可是庞涓却要为孙膑的M到底是2×27还是4×25苦恼。
41不可能，因为41=4+37=10+31。后面推理略。
53不可能，因为53=6+47=16+37。后面推理略。
研究一下17。这下我们得考虑所有17的两数和拆法：
(2,15)：那么M=2×15=2×3×5=6×5，而6+5=11也在C中，所以一定不是这个M，否则4)的条件不能满足，孙“我现在能够确定这两个数字了”的话说不出来。
(3,14)：那么M=3×14=2×3×7=2×21，而2+21=23也在C中。后面推理略。
(4,13)：那么M=4×13=2×2×13。那么孙可以猜的组合是(2,26)(4,13)，只有(4,13)的和在C中，所以这种情况孙膑可以说4)中的话。
(5,12)：那么M=5×12=2×2×3×5=3×20，而3+20=23也在C中。后面推理略。
(6,11)：那么M=6×11=2×3×11=2×33，而2+33=35也在C中。后面推理略。
(7,10)：那么M=7×10=2×5×7=2×35，而2+35=37也在C中。后面推理略。
(8,9)：那么M=8×9=2×2×2×3×3=3×24，而3+24=27也在C中。后面推理略。

于是在S=17时，只有(4,13)这种情况，孙膑才可以猜出那两数是什么，既然如此，庞涓就知道这两个数是什么，说出“我现在也知道这两个数字是什么了”。听了庞涓的话，于是我们也知道，这两数该是(4,13)。

什么东西啊