sin x 的四次方 的积分怎么求

∫(sinx)^4dx

=∫[(1/2)(1-cos2x]^2dx

=(1/4)∫[1-2cos2x+(cos2x)^2]dx

=(1/4)∫[1-2cos2x+(1/2)(1+cos4x)]dx

=(3/8)∫dx-(1/2)∫cos2xdx+(1/8)∫cos4xdx

=(3/8)∫dx-(1/4)∫cos2xd2x+(1/32)∫cos4xd4x

=(3/8)x-(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞

参考资料来源：百度百科——不定积分

降幂

cos2x=1-2(sinx)^2

四次方：

四次方就是四个所指的数相乘，例图则是十的四次方，就是四个十相乘。得10×10×10×10=10 000

*注：四次方的“四”要比数字小一点点。

要求sin(x)的四次方的积分，可以通过代数和三角恒等式的运用来进行计算。

我们知道，sin^2(x)的积分可以通过反正函数求得，即 ∫sin^2(x) dx = (x/2) - (1/4)sin(2x) + C。

那么，sin^4(x)可以通过将sin^2(x)平方来计算。根据恒等式sin^2(x) = (1/2)(1 - cos(2x))，我们有：

sin^4(x) = (sin^2(x))^2 = ((1/2)(1 - cos(2x)))^2

展开后得到：

sin^4(x) = (1/4)(1 - 2cos(2x) + cos^2(2x))

现在我们可以将这个结果代入sin^4(x)的积分：

∫sin^4(x) dx = (1/4)∫(1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)) dx

继续计算每一项的积分：

∫sin^4(x) dx = (1/4)(x - sin(2x)/2 + (1/4)sin(4x)) + C

因此，sin(x)的四次方的积分为(1/4)(x - sin(2x)/2 + (1/4)sin(4x)) + C。其中，C为积分常数。

一般这种情况都是积分区域从0到π/2的定积分，可采用华里士公式
①[(n-1)/n]×[(n-3)/(n-2)]……(1/2)×(π/2) (n为sinx的次数，n为偶数)
②[(n-1)/n]×[(n-3)/(n-2)]……(2/3)×1 (n为sinx的次数，n为奇数)

要计算sin^4(x)的积分，可以使用换元法结合三角函数的恒等式来计算。以下是计算积分的步骤：
1. 使用恒等式 sin^2(x) = (1/2)(1 - cos(2x)) 将sin^4(x)表示为sin^2(x)的平方的形式。
2. 令u = sin(x)，则du = cos(x)dx，由此可得到新的被积函数 u^2 * du。
3. 将原来的自变量x替换为u，并将被积函数转化为 u^2 * du。
4. 进行积分。由于被积函数是一个简单的幂函数，积分后可以得到结果。
下面是具体的计算过程：
∫sin^4(x)dx = ∫(sin^2(x))^2 dx = ∫(1/4)(1 - cos(2x))^2 dx
令 u = sin(x)，则 du = cos(x)dx，由此可得到新的被积函数：
(1/4)∫(1 - cos(2x))^2 dx = (1/4)∫(1 - cos(2x))(1 - cos(2x)) dx = (1/4)∫(1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)) dx
= (1/4)∫(1 - 2cos(2x) + (1/2)(1 + cos(4x))) dx
= (1/4)∫(3/2 - 2cos(2x) + (1/2)cos(4x)) dx
= (3/8)x - (1/4)sin(2x) + (1/8)sin(4x) + C
因此，sin^4(x)的积分结果为：
∫sin^4(x)dx = (3/8)x - (1/4)sin(2x) + (1/8)sin(4x) + C
其中C为积分常数