为什么正多面体只有五种？

设正多面体的每个面是正n边行，每个顶点是m条棱，于是，棱数E应是F（面数）与n的积的一半，即
Nf=2E -------------- 1式
同时，E应是V（顶点数）与M的积的一半，即
mV=2E -------------- 2式
由1式、2式，得
F=2E/n, V=2E/m,
代入欧拉公式
V+F-E=2，
有
2E/m+2E/n-E=2
整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E.
由于E是正整数，所以1/E>0。因此
1/m+1/n>1/2 -------------- 3式
3式说明m,n不能同是大于3，否则3式不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知，m>=3且n>=3。因此m和n至少有一个等于3
当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5
同理n=3，m也只能是3，4，5

所以
n m 类型
3 3 正四面体
4 3 正六面体
3 4 正八面体
5 3 正十二面体
3 5 正二十面体

由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体
所以正多面体只有5种

这个问题如果要证明的话可能需要高等拓扑学的知识，不过我想除非有意研究，否则没人会想去看那么复杂的证明的。简单来说，就是只有这五种多边形才能在空间中组成一个自洽的多面体，其他的都没有办法自洽。

另外一个角度的通俗解答（好理解，但证明不严格）：
设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点是m条棱，即相邻m个n边形。
正n边形的顶角角度为180(n-2)/n，
正多面体每个顶点可能的角度之和为m×180(n-2)/n<360°，（=360°将成为一个平面），
因为m、n均一定≥3，
正3边形，顶角为60°，由其构成正多面体每个顶点可能的m为3、4、5，
正4边形，顶角为90°，由其构成正多面体每个顶点可能的m为3，
正5边形，顶角为108°，由其构成正多面体每个顶点可能的m为3，
正6边形，顶角为120°，不可能有由正n边形（n≥6）构成正多面体，
综上所述，正多面体构成的可能性只有以上5种。
n m 类型
3 3 正四面体
3 4 正八面体
3 5 正二十面体
4 3 正六面体
5 3 正十二面体
由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体
所以正多面体只有5种，而没有更多。