1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的计算公式是什么

1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的计算公式是n*(n+1)*(2n+1)/6。

解：1、因为当n=1时，1^2=1=1*(1+1)*(2x1+1)/6=1，

2、当n=2时，1^2+2^2=5=2*(2+1)*(2x2+1)/6=5，

3、设n=k（k≥2，k为正数）时，1^2+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6成立。

那么当n=k+1时，

1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=k*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2，

而k*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2

=(k+1)*(k*(2k+1)/6+(K+1))

=(K+1)*(k*(2k+1)+6(k+1))/6

=1/6*(k+1)*(2k^2+7k+6)

=1/6*(k+1)*(2K+3)*(K+2)

=(k+1)*((K+1)+1)*(2(K+1)+1)/6，

即1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=(k+1)*((K+1)+1)*(2(K+1)+1)/6也满是公式。

所以根据数学归纳法，对一切自然数n有1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的计算公式是n*(n+1)*(2n+1)/6。

扩展资料：

数列求和的方法

1、公式法

（1）等差数列求和公式：Sn=1/2*n（a1+an）=d/2*n+（a1-d/2）*n

（2）等比数列求和公式：Sn=na1（q=1）、Sn=a1*（1-q^n）/（1-q）（q≠1）

（3）自然数求和公式：（1+2+3+...+n）=n(n+1)/2

2、错位相减法

3、倒序相加法

4、裂项相消法

（1）1/（n*（n+1））=1/n-1/（n+1）

（2）1/（（2n-1）*（2n+1））=1/2（1/（2n-1）-1/（2n+1））

参考资料来源：百度百科-数列求和

S=(1/6)n(n+1)(2n+1)。

推导过程：

设S=1^2+2^2+....+n^2

(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1

n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1

...

2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1

把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n

所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)

扩展资料：

数列求和方法

1、分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列。

2、拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和。

3、错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。

4、倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导。

设S=1^2+2^2+....+n^2

(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
..
...

2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1

把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n

所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)

简单计算一下即可，答案如图所示

设S=1^2+2^2+....+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ... .. ... 2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2