急！！谁知道2007年第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛的答案！！！

第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
复赛试题参考答案（初一组）

填空（每题10分，共80分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 97 48 5 7 85°

二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9、解：设x，y，z，t是整数，并且假设
（1）
比较上式a，b，c的系数，应当有

（2）

取 ，可以得到 ，，，则有
（3）
既然 和都能被13整除，就能被13整除。
【说明】 表式为均能被13整除的两个代数式的代数和，表达方式不唯一，例如：取，则有 ，，，则有

实际上，（2）是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到
，，这里k是任意整数，
将 代入其余方程，解得
，，这里k是任意整数，
则可以有

评分参考：有类似于（3）的代数表达式，给10分。
10、解：如图3a，连接AE、EN和NC，易知
由 ， ，
上面两个式子相加得
（1）
并且四边形AECN的面积=。
连接AC，如图3b,由三角形面积公式，易知
，
上面两个式子相加得
四边形AECN的面积= （2）
将（1）式和（2）相加，得到
，
既然
，
因此 图3b
， 。
答：
评分参考：①能利用三角形面积公式导出结果（1），给4分；②能利用三角形面积公式导出结果（2），给4分；③正确给出答案，给2分。
11、解答：填数的方法是排除法，用（m，n）表示位于第m行和第n列的方格。
第七行、第八行和第3列有9，所以，原题图4左下角的“小九宫”格中的9应当填在（9，2）格 图4a
子中；第1列、第2列和第七行有数字5，所以，在图4右下角的“小九宫”格中的数字5只能填在（9，3）中；第七行、第八行有数字6，图4中下部的“小九宫”格的数字6应当填在（9，6）；此时，在第九行尚缺数字7和3，由于第9列有数字7，所以，7应当填在（9，8）；3自然就填在（9，9）了，填法见图4a。
九位数是 495186273。
评分参考：①正确给出答案，给5分；②对图4左边中间的“小九宫”格的5个空格的填法，能说明理由，给5分，每个空格给1分；③即使最后答案不正确，对于推理正确的空格填法，要适当给分；
12、解答：
（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点，有4种取法。因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出1个三角形。但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，三个点相同的取法有3×2×1=6种，所以，以这6个点为顶点可以构造 个不同的三角形。
（2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形。
（3）用英文大写字母A、B、C、D、E、F记这6个点，假设可以选出两两没有公共边的5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母。这里不同的英文大写字母仅有6个。因此，这5个三角形中至少有3个三角形有同一个顶点，无妨设为A。根据假设，这3个三角形两两没有公共边，即除去公共顶点A之外，其余6个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同。但是，除A之外，我们仅有5个不同的字母。所以，不可能存在5个三角形，它们两两没有公共边。
又显然，，和这4个三角形两两没有公共边。所以，最多可以选出4个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边。
评分参考：①回答第一问正确给3分；②回答第二问正确给2分；③第三问，回答正确给2分，能解释理由再给2分。
三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13、解：设刘芳的年龄为x岁。
① 刘芳和路路的年龄和是36岁，是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数，而路路和妈妈的年龄的差是奇数，因此路路的妈妈不是刘芳。注意到菲菲比刘芳小29岁，菲菲的妈妈不是刘芳，所以，壮壮的妈妈是刘芳。
②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为(
路路岁，他的妈妈应当是 岁，和为
菲菲岁，她的妈妈应当是 岁，和为
由于6个人共105岁，所以，
。
③解出x=32,菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁；路路和刘芳的年龄的和是36，路路4岁；路路和王雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁。
答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁。
评分参考：①第一步，能判断出壮壮的妈妈是刘芳，给5分；②能正确回答谁是路路的妈妈，给5分；③能正确回答3个孩子的年龄，给5分。
14、解：
（1）由于，故有 。所以，能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）。
（2）不妨设，现在的问题就是寻找整a，b，c，满足

由，则有
，从而 ,
所以 。又有，所以 ，故或16。
若，则有 ，由于，并且 ，
所以 ， 。
故 ，100或121。将 、100和121分别代入 ，没有一个是完全平方数，说明当 时，无解。
若 ，则 。类似地，可得：
，即 ，
此时，不是整数。
综上所述，不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和。
评分参考：①正确回答第一问给5分（答案不唯一）；②能得到或16，给6分；③能分别对 和16讨论能否表示为3个互异的完全平方数的倒数之和，各给2分，共4分；④对代数式合理和正确的推导适当给分。
特别说明：因为各题的解答未必唯一，上述解答和评分仅供参考。

怎么？你想抄啊？？